2021高考数学(鄂湘陕渝粤专用-理科)二轮补偿练6-Word版含解析.docx

补偿练6　平面对量与解三角形
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．在平面直角坐标系xOy中，点A(1,3)，B(－2，k)，若向量⊥，则实数k＝ (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．4 B．3
C．2 D．1
解析　由于A(1,3)，B(－2，k)，所以＝(－3，k－3)，由于⊥，所以－3＋3k－9＝0，解得k＝4.
答案　A
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，c＝(1，－2)，若向量λa＋b与c共线，则实数λ的值为 (　　)．
A．－2 B．－
C．－1 D．－
解析　由题知λa＋b＝(λ＋2,2λ)，又λa＋b与c共线，
∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1.
答案　C
3. 如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝ (　　)．

A.
B.
C.
D.
解析　以F为坐标原点，FP，FG所在直线为x，y轴建系，假设一个方格长为单位长，则F(0,0)，O(3,2)，P(5,0)，Q(4,6)，则＝(2，－2)，＝(1,4)，所以＋＝(3,2)，而恰好＝(3,2)，故＋＝.
答案　D
4．在平面四边形ABCD中，满足＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是 (　　)．
A．矩形　　B．正方形　　C．菱形　　D．梯形
解析　由于＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形，又(－)·＝·＝0，所以四边形的对角线相互垂直，所以四边形ABCD是菱形．
答案　C
5．在△ABC中，若a＝2b，面积记作S，则下列结论中肯定成立的是 (　　)．
A．B＞30°　　B．A＝2B　　C．c＜b　　D．S≤b2
解析　由三角形的面积公式知S＝absinC＝2b·bsinC＝b2sinC，由于0＜sinC≤1，所以b2sinC≤b2，即S≤b2.
答案　D
6．已知直角坐标系内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是 (　　)．
A．(－∞，0)∪(0，＋∞)
B．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)
C．(－∞，3)∪(3，＋∞)
D．[－3,3)
解析　由题意可知向量a与b为基底，所以不共线，≠，得m≠－3.
答案　B
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcos A＝csinC，S＝(b2＋c2－a2)，则角B等于 (　　)．
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析　由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，即sin(B＋A)＝sinCsinC，由于sin(B＋A)＝sinC，所以sinC＝1，C＝90°，依据三角形面积公式和余弦定理得，S＝bcsinA，b2＋c2－a2＝2bccosA，代入已知得bcsinA＝·2bccosA，所以tanA＝1，A＝45°，因此B＝45°.
答案　C
8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于 (　　)．
A. B.
C．－ D．－
解析　由2S＝(a＋b)2－c2，得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×absinC＝a2＋b2＋2ab－c2，所以absinC－2ab＝a2＋b2－c2，又cosC＝＝＝－1，所以cosC＋1＝，即2cos2＝sincos，所以tan＝2，即tanC＝＝＝－.
答案　C
9．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3＋
4＋5＝0，则△AOC的面积为 (　　)．
A. B.
C. D.
解析　依题意得，(3＋5)2＝(－4)2,92＋252＋30·＝162，即34＋30cos∠AOC＝16，cos∠AOC＝－，sin∠AOC＝＝，△AOC的面积为||||sin∠AOC＝.
答案　A
10．已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是 (　　)．
A．0 B.
C. D．1
解析　∵a与b的夹角为60°，且b为单位向量，
∴a·b＝，|ta－b|＝＝
＝≥.
答案　C
二、填空题
11．若向量m＝(1,2)，n＝(x,1)满足m⊥n，则|n|＝__________.
解析　∵m⊥n，∴m·n＝0，即x＋2＝0，∴x＝－2，
∴|n|＝＝.
答案　
12．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为________．
解析　S＝×AB·ACsin60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.
答案　
13．在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有＝，则角C的大小为________．
解析　依题意得acosA＝bcosB，sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，又△ABC是不等边三角形，因此A＋B＝，C＝.
答案　
14. 在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，则·＝________.

解析　由于＝＋，＝＋，·＝0，所以·＝(＋)·(＋)＝2＋2＝1.
答案　1
15．给出以下结论：
①在三角形ABC中，若a＝5，b＝8，C＝60°，则·＝20；
②已知正方形ABCD的边长为1，则|＋＋|＝2；
③已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则A，B，D三点共线．
其中正确结论的序号为__________．
解析　对于①，B·C＝abcos(π－C)＝－abcos C＝－20；对于②，|＋＋|＝|2|＝2||＝2；对于③，由于＝a＋5b，＝＋＝a＋5b，所以＝，则A，B，D三点共线．综上可得，②③正确．
答案　②③