四川省眉山市2021届高三第一次诊断性考试-数学理-扫描版含答案.docx

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眉山市高中2021届第一次诊断性考试数学（理工类）参考答案一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D B A A C D C B 二、填空题： 11. 12. 13. 14. 15. 2+i -6 270 1472 ②③⑤ 三、解答题： 16、解（1）∵，由正弦定理得：， ∴ ∵，∴ ∴，又 ∴； ………………………………………………………………………………… 6分（2）方法一：∵，的面积为，∴ ∴， … 8分，即， ………………………………………… 9分， …………………………………………………………10分 ∴. …………………………………………12分方法二： ………………………………12分 17、解（1）设“小王通过聘请考核”为大事A，则P(A)＝所以小王通过聘请考核的概率为 ……………………………………………………4分（2）的可能取值为0元，1200元，2200元，3600元 ……………………………5分，， …………………………………………………………9分所以，的分布列为 0 1200 2200 3600 P 数学期望为（元） ……12分 18、解（1）设等比数列的首项为，公比为，以题意有：代入，得 ∴ ……………………………………………………………………… 3分解之得： …………………………………………………………… 5分又∵单调递增，∴ ∴ ………………………………………………………………………………… 6分 (2) …………………………………………………………… 7分 ∴① ∴② ∴②-①得： = …………………………………………………………………………9分由得，∴>52. 又当时，＜52 当时，﹥52 故使成立的正整数的最小值为5 ………………………………12分 19、（Ⅰ）证明：如图1，连接OA1，O为AB的中点，且所以，AF=FO，又E为A A1的中点所以，EF∥OA1 2分在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB且A1B1=AB 由于，O、D分别为AB、 A1B1中点所以，OB∥A1D且OB=A1D 所以，OBDA1为平行四边形所以，OA1∥BD 3分所以，EF∥BD，又EF平面BDC，BD平面BDC 所以，EF∥平面BDC1． 4分（Ⅱ）证明：如图1，由于，AA1⊥平面ABC，OC平面ABC 所以，AA1⊥OC 5分由于，AB=BC，O为AB中点所以，OC⊥AB，又AB、AA1平面ABB1 A1，ABAA1=A 6分所以，OC⊥平面ABB1 A1，又OC平面OCC1D 所以，平面OCC1D⊥平面ABB1 A1． 8分（Ⅲ）解法一，如图2建立空间直角坐标系O—xyz，设AB=2 则 9分所以，设平面EBC1的法向量为则取 10分设平面DBC1的法向量为则取 11分所以，故，所求二面角E－BC1－D的余弦值为． 12分（Ⅲ）解法二，如图1，在三棱柱ABC－A1B1C1中由于，O、D分别为AB、 A1B1的中点所以，OD平行且等于AA1，AA1平行且等于CC1，所以，CODC1为平行四边形所以，C1D∥CO，由（Ⅱ）知，OC⊥平面ABB1 A1 所以，C1D⊥平面ABB1 A1 所以，面C1DB⊥平面ABB1A1 9分过E作EG⊥BD于G，过G作GH⊥B C1于H，连接EH 所以，EG⊥平面BDC1 所以，EG⊥GH，EG⊥BC1 所以，BC1⊥平面EGH 所以，BC1⊥EH 所以，为所求二面角E－BC1－D的平面角 10分设AB=2，连接DE 所以，BE=BD=，DE= 所以，，所以，，所以，由于，，又,所以所以， 11分 ∴所求二面角E－BC1－D余弦值为． 12分 20、解：（Ⅰ）由已知知道函数的定义域为 1分当时，，所以 2分当时，；当时，所以，的单调增区间为，减区间为． 4分（Ⅱ）由于，，令解得 5分由解得，由解得从而的单调增区间为，减区间为 6分所以，解得，． 8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知当时，，所以，≥1 9分令，则当时，；当时，从而在上单调递增，在上单调递减所以， 11分所以，，即所以，方程=没有实数根． 13分 21、解:(Ⅰ)依题意, 1分 ① 当时,或所以在上单调递增;在上单调递减 2分 ② 当时,或所以在上单调递减;在上单调递增． 3分 (Ⅱ)当时, 在上单调递减 4分由(Ⅰ)知,在上单调递减 5分所以在上单调递减 6分 7分． 8分 (Ⅲ)当,时,, 由(Ⅰ)知在上单调递减, 从而,即 9分当,时,,在上单调递增, 从而,即 10分对于任意的,总存在唯一的,使得成立, 只需,即成马上可. 11分记函数,易知在上单调递增,且 13分所以的取值范围为． 14分

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