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昆明三中2022─2021学年上学期期中考试
高二数学试卷（文理）
命题人 庄少强
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试用时120分钟。
留意事项：
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2. 答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时，必需使用黑色碳素笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 全部题目必需在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
第I卷（选择题，共36分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．b＝c＝0是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．命题p：∀x>1，log2x>0，则Øp是( )
A．∀x>1，log2x≤0 B．∀x≤1，log2x>0
C．∃x>1，log2x≤0 D．∃x≤1，log2x>0
3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A． B． C． D．(，0)
4．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围为( )
A．m＜ B．m＜0 C．m＞ D．m≤
5．抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．点P为椭圆＋＝1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( )
A．(±，1) B．(，±1) C．(，1) D．(±，±1)
7．到点(－1,0)与直线x＝3的距离相等的点的轨迹方程为( )
A．x2＝－4y＋4 B．y2＝－4x＋4
C．x2＝－8y＋8 D．y2＝－8x＋8
8．假如命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则( )
A．命题p和命题q都是假命题 B．命题p和命题q都是真命题
C．命题p和命题“非q”真值不同 D．命题p和命题“非q”真值相同
9．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的( )
10．若直线过点P(－3，－)，且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则此直线方程是( )
A．3x＋4y＋15＝0 B．x＝－3或y＝－
C．x＝－3 D．x＝－3或3x＋4y＋15＝0
11．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0，] C．(0，) D．[，1)
12．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共64分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。把答案填在答题卡上。
13．抛物线的焦点坐标是____________．
14．已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________．
15．圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则l的方程是_______________．
16．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是_______________．
17．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c.以点O为圆心，a为半径作圆M. 若过点P作圆M的两条切线相互垂直，则该椭圆的离心率为________．
三、解答题：本大题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分9分）
求经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
19．（本小题满分10分）
求圆心在直线2x＋y＝0上，且与直线x＋y－1＝0切于点(2，－1)的圆的标准方程．
20．（本小题满分10分）
双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，焦距为2c，左顶点为A，虚轴的上端点为B，
若·＝3ac，求该双曲线的离心率．
21．（本小题满分10分）
设抛物线y2＝8x的焦点是F，有倾斜角为45°的弦AB，|AB|＝8，求△FAB的面积．
22．（本小题满分10分）
过椭圆Γ：右焦点的直线交椭圆于，两点，为其左焦点，已知△的周长为8，椭圆的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
机密★启用前
昆明三中2022─2021学年上学期期中考试
高二数学试卷（答案）
第I卷（选择题，共36分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．b＝c＝0是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若b＝c＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c＝ax2经过原点，
若二次函数y＝ax2＋bx＋c过原点，则c＝0，故选A.
2．命题p：∀x>1，log2x>0，则Øp是( )
A．∀x>1，log2x≤0 B．∀x≤1，log2x>0
C．∃x>1，log2x≤0 D．∃x≤1，log2x>0
[答案] C
[解析] 全称命题的否定是特称命题．
3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A． B． C． D．(，0)
[答案] C
[解析] 将方程化为标准方程x2－＝1
∴c2＝1＋＝，∴c＝，故选C.
4．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围为( )
A．m＜ B．m＜0 C．m＞ D．m≤
[答案] A
[解析] (－1)2＋12－4m＞0，∴m＜，故选A.
5．抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] 抛物线y2＝4x，焦点F(1,0)，准线x＝－1，
∵M到准线的距离为3，∴xM－(－1)＝3，∴xM＝2.
6．点P为椭圆＋＝1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( )
A．(±，1) B．(，±1) C．(，1) D．(±，±1)
[答案] D
[解析] 设P(x0，y0)，∵a2＝5，b2＝4，∴c＝1，
∴S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝|y0|＝1，∴y0＝±1，
∵＋＝1，∴x0＝±.故选D.
7．到点(－1,0)与直线x＝3的距离相等的点的轨迹方程为( )
A．x2＝－4y＋4 B．y2＝－4x＋4
C．x2＝－8y＋8 D．y2＝－8x＋8
[答案] D
[解析] 由已知得＝|x－3|，
变形为：y2＝－8x＋8，故选D.
8．假如命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则( )
A．命题p和命题q都是假命题 B．命题p和命题q都是真命题
C．命题p和命题“非q”真值不同 D．命题p和命题“非q”真值相同
[答案] D
[解析] “p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一个真一个假，故命题p和命题“非q”真值相同．
9．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的( )
[答案] C
[解析] 方程可化为y＝ax＋b和＋＝1.从B，D中的两椭圆看a，b∈(0，＋∞)，但B中直线有a<0，b<0冲突，应排解；D中直线有a<0，b>0冲突，应排解；再看A中双曲线的a<0，b>0，但直线有a>0，b>0，也冲突，应排解；C中双曲线的a>0，b<0和直线中a，b全都．应选C.
10．若直线过点P(－3，－)，且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则此直线方程是( )
A．3x＋4y＋15＝0 B．x＝－3或y＝－
C．x＝－3 D．x＝－3或3x＋4y＋15＝0
[答案] D
[解析] 圆心到直线距离d＝＝3，因此当斜率不存在时直线方程为x＝－3
当k存在时设方程为y＋＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k－＝0. 由3＝得k＝－，故选D.
11．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0，] C．(0，) D．[，1)
[答案] C
[解析] 依题意得，c<b，即c2<b2， ∴c2<a2－c2, 2c2<a2，故离心率e＝<，
又0<e<1，∴0<e<，故选C.
12．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A． B． C． D．
[答案] D
[解析] 设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
由消去y得，k2x2＋4x(k2－2)＋4k2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝4.
由抛物线定义得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，
又∵|AF|＝2|BF|，∴x1＋2＝2x2＋4，
∴x1＝2x2＋2代入x1x2＝4，得x＋x2－2＝0，
∴x2＝1或－2(舍去)，∴x1＝4，
∴＝5，∴k2＝， ∵k>0，∴k＝.
第Ⅱ卷（非选择题，共64分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。把答案填在答题卡上。
13．抛物线的焦点坐标是____________．
[答案] (2,0)
[解析] 本题形如y2＝2px(p>0)，焦点坐标为(，0)，故为(2,0)．
14．已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________．
[答案] 6
[解析] 椭圆方程为＋＝1，c2＝a2－b2＝36－24＝12，∴焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，
双曲线－＝1与椭圆有相同焦点， ∴2m＝12，∴m＝6.
15．圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则l的方程是_______________．
[答案] x－y＋2＝0
[解析] l即为两圆连心线的垂直平分线x－y＋2＝0.
16．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是_______________．
[答案] ＋＝1
[解析] 由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2
∴原方程化为：＋＝1， 将A(1，)代入方程得b2＝3,
∴椭圆方程为：＋＝1.
17．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c.以点O为圆心，a为半径作圆M. 若过点P作圆M的两条切线相互垂直，则该椭圆的离心率为________．
[答案]
[解析] 设切点为Q、B，如图所示．切线QP、PB相互垂直，又半径OQ垂直于QP，所以△OPQ为等腰直角三角形，可得
a＝，∴e＝＝.
三、解答题：本大题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分9分）
求经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
[解析] 由方程组
得
∴两已知直线的交点为(－4,3)．
当所求直线在两坐标轴上的截距都是0时，
所求直线的方程为y＝－x，即3x＋4y＝0.
当所求直线不过原点时，设所求直线方程为x＋y＝a，由于点(－4,3)在直线x＋y＝a上，∴a＝－1，
故所求直线方程为x＋y＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为 3x＋4y＝0或x＋y＋1＝0.
19．（本小题满分10分）
求圆心在直线2x＋y＝0上，且与直线x＋y－1＝0切于点(2，－1)的圆的标准方程．
[解析] ∵圆与直线x＋y－1＝0相切于点M(2，－1)，则圆心必在过点M(2，－1)且垂直于
x＋y－1＝0的直线l上，l的方程为y＝x－3，
由得，即圆心为C(1，－2), r＝＝
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
20．（本小题满分10分）
双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，焦距为2c，左顶点为A，虚轴的上端点为B，
若·＝3ac，求该双曲线的离心率．
[解析] 由条件知F(c,0)，A(－a,0)，B(0，b),
∴＝(－a，－b)，＝(c，－b)， ∵·＝3ac，∴－ac＋b2＝3ac，
又b2＝c2－a2，∴c2－a2－4ac＝0， ∵e>1，∴e＝＝2＋.
21．（本小题满分10分）
设抛物线y2＝8x的焦点是F，有倾斜角为45°的弦AB，|AB|＝8，求△FAB的面积．
[解析] 设AB方程为y＝x＋b
由消去y得：x2＋(2b－8)x＋b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2b，x1·x2＝b2.
∴|AB|＝·|x1－x2|
＝×
＝＝8，
解得：b＝－3.
∴直线方程为y＝x－3.即：x－y－3＝0
∴焦点F(2,0)到x－y－3＝0的距离为d＝＝.
∴S△FAB＝×8×＝2.
22．（本小题满分10分）
过椭圆Γ：右焦点的直线交椭圆于，两点，为其左焦点，已知△的周长为8，椭圆的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
[解析]（Ⅰ）由已知得 解得∴b2＝a2－c2＝1，
故椭圆Γ的方程为＋y2＝1.
（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，其方程为x2＋y2＝r2(0＜r＜1)．
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋t，
由消去y整理得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.①
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t， ∴x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，
即(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0.②
将①代入②得－＋t2＝0，即t2＝(1＋k2)．
∵直线PQ与圆x2＋y2＝r2相切，
∴r＝＝＝∈(0,1)， ∴存在圆x2＋y2＝满足条件．
当直线PQ的斜率不存在时，圆x2＋y2＝也适合题意.
综上所述，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝满足条件．
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