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太原五中2022—2021学年度其次学期阶段检测
高 三 数 学(理)
命题人、校题人：吕兆鹏 刘锦屏 (2021.5.7)
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的）
1. 已知集合, ， 则= （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数的共轭复数的虚部为 ( )
A．- B． C．i D．- i
3．将函数的图象沿轴向左平移个
单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取
值为( )
A. B. C. 0 D. -
4．阅读程序框图，若输入，
则输出分别是（ ）
A． B．
C． D．
5．某校在一次期中考试结束后，把全校文、
理科
文科
14
13
12
11
8 6 6
9 8 8
10
9 8
9 8
0 1
2 6 8 8
6 9 9
6
第（5）题 图
理科总分前10名同学的数学成果（满分150分）
抽出来进行对比分析，得到如图所示的茎叶图.
若从数学成果高于120分的同学中抽取3人，
分别到三个班级进行数学学习方法沟通，
则满足理科人数多于文科人数的状况有( )种
A． 3081 B． 1512
C． 1848 D． 2022
6．某四周体的三视图如图所示，正视图、侧视图、
俯视图都是边长为1的正方形，则此四周体的外接球的体积为 （ ）
正视图
侧视图
俯视图
A．
B．
C．
D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．命题“若 , 则 ”的逆否命题是“若, 则或”;
B．命题“, ”的否定是“, ”；
C．“”是“函数在区间上单调递减”的充要条件；
D．已知命题；命题 , 则 “为真命题”.
8. 已知点M是DABC的重心，若A=60°，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
9．设分别是方程和的根(其中), 则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10．已知数列的前项和为，且，在等差数列中，，且公差.使得成立的最小正整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．已知为抛物线的焦点，点A、B在该抛物线上且位于轴两侧，且
（O为坐标原点），则与面积之和的最小值为( )
A. 4 B. C. D.
12．已知函数
设函数且函数的零点均在区间内,则的最小值为（ ）
二．填空题（本题共4个小题，每小5分，满分20分）
13．已知，则开放式中的常数项为_____
14．任取,直线与圆相交于两点，则的概率是
15. 已知数列的前项和为， 满足，
则
16．已知， 若 且（a,b,cÎR），则实数的取值范围是
三．解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．( 本小题满分12分) 在中，若，
且 （1）求角的大小；
（2）求的面积.
18. ( 本小题满分12分) 某高校在上学期依次进行了“法律、环保、交通”三次学问竞赛活动，要求每位同学至少参与一次活动.该高校2022级某班50名同学在上学期参与该项活动的次数统计如图所示.
（1）从该班中任意选两名同学，求他们参与活动次数不相等的概率.
活动次数
参与人数
5
1
25
10
15
20
3
2
第18题图
（2）从该班中任意选两名同学，用表示这两人参与活动次数之差的确定值，求随机变量的分布列及数学期望.
（3）从该班中任意选两名同学，用表示
这两人参与活动次数之和，记“函数
在区间（3，5）上有且
只有一个零点”为大事A，求大事A发生的概率.
19．(本题满分12分)已知四棱锥中，，，且底面是边长为1的正方形，是侧棱上的一点(如图所示).
（1）假如点在线段上，，且，求的值；
P
C
D
A
B
E
F
第19题图
（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.
20．(本题满分12分)已知椭圆的离心率为,且过点,抛物线的焦点坐标为.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
(2)若点是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别是，直线交椭圆于两点.
(i)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；
(ii)当的面积取最大值时，求直线的方程.
O
x
y
M
B
A
L
Q
P
第20 题图
21.(本小题满分12分)已知函数
（1）若直线是曲线的切线，求的值；
（2）若直线是曲线的切线，求的最大值；
（3）设是曲线上相异三点，其中
求证：
A
C
P
D
O
E
F B
选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，假如多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图,⊙的直径的延长线与弦
的延长线相交于点,
为⊙上一点,AE＝AC ,交于点,且,
（I）求的长度.
（II）若圆F与圆内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度
23.(本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为．
(1)求圆心C的直角坐标；
(2)由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数
(1) 解关于的不等式；
(2) 若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围.
太原五中2022—2021年度高三班级阶段性检测
高三数学参考答案
一．CBBAC BDBAC BC
二．13． __-20___ ；14. ；15.- ；16. [, ]
三．解答题
17. 解：（1）由题可知：在DABC中，÷÷ = 2,
×cosC + ×cosA = ×sinB，
由于： ＝ + ，×cosC + ×cosA = （+）×sinB，
即：（cosC － sinB） + （cosA － sinB） ＝ -------2分
而、是两不共线向量，所以：Þ cosC ＝ cosA，
0 < A,C < p , \ A = C , DABC 为等腰三角形.在等腰DABC中，A + B + C ＝ p ， \ 2A + B = p , A = - ；由上知：cosA = cos( - )= sin = sinB, \sin = 2sincos, \ cos ＝ , 0 < < ,
\ = , B = ,-------------6分
（2）由（1）知：则A = C = , 由正弦定理得：= ,
\÷÷ = 2 , SDABC = ÷÷×÷÷sin = ×2×2 ×= --12分
18.解：（1）从该班任取两名同学，他们参与活动的次数恰好相等的概率：
P = = ,故P = 1 - = .-----4分
(2) 从该班中任选两名同学，用x表示这两同学参与活动次数之差的确定值，则x的可能取值分别为：0 ，1，2，
于是P(x = 0)= , P(x = 1)= = ,
P(x = 2)= = , 从而x的分布列为：
x
0
1
2
P
Ex = 0´+ 1´ + 2´ = .---------------8分
(3) 由于函数f(x) = x2 - hx – 1 在区间(3,5)上有且只有一个零点，则
f(3)×f(5) < 0 , 即：(8 - 3h)(24- 5h) < 0 , < h < -------10分
又由于h的取值分别为：2,3,4,5,6,故h = 3或4,
故所求的概率为：P(A)= = .------------------12分
19．解：(1)连接CF并延长交AB于K，连接PK，
由于：EF//平面PAB ,EFÌ 平面PCK，平面PCKÇ平面PAB = PK，
\ EF// PK，由于DF=3FB，AB//CD ，\ CF=3KF，
又由于：EF// PK，\ CE= 3PE, \ = -----4分
(2) 以C 为原点，CD，CB，CP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间坐标系
P
C
D
A
B
E
F
第19题图
K
x
y
z
（如图所示）则有：
C(0,0,0) , D(1,0,0),A(1,1,0)
B(0,1,0),P(0,0,2), E(0,0, ),F(,,0)
故= (,,- ),= (,- ,0)
= (,,0)-----------6分
设= (x1 ,y1 ,z1)是平面BEF的一个法向量
则有：,取x=1得：= (1，1，)
----------------------------------8分
同理：平面CEF的一个法向量为：= (3,-1,0) -----------------10分
cos<,> = =
所以：二面角B—EF—C的余弦值为：- .-----------12分
20．解：(1)椭圆C1：+ y2=1；C2：x2=-2y ----4分
(2)(i)设点M(x0,y0),且满足2x0-4y0+3=0,点A(x1,y1) ,B(x2 ,y2), 对于抛物线y= - ,y¢ = - x , 则切线MA的斜率为-x1 ,从而切线MA的方程为：y–y1=-x1(x-x1),即：x1x+y+y1=0 ,同理：切线MB的方程为：x2x+y+y2=0 ，
又由于同时过M点，所以分别有：x1x0+y0+y1=0和x2x0+y0+y2=0，因此A，B同时在直线x0x+y+y0=0上，又由于：2x0-4y0+3=0，所以：AB方程可写成：y0(4x+2)+(2y-3x)= 0,明显直线AB过定点：(- ,- ).---------6分
(ii)直线AB的方程为：x0x+y+y0=0，代入椭圆方程中得：(1+4x02)x2+8x0y0x+4y02-4=0
令P(x3,y3),Q(x4,y4) , D = 16(4x02- y02+1)>0,
x3+x4 = - ；x3x4 =
|PQ| = ·= ·-------8分
点O到PQ的距离为：d=
从而SDOPQ = ·|PQ|·d = ×·×
= 2×£ =1 ---------10分
当且仅当y02 = 4x02- y02+1时等号成立,又2x0-4y0+3=0联立解得：x0= ,y0= 1或x0= - ,y0= ；
从而所求直线AB的方程为：x+2y+2=0 或x-14y-10=0------------12分
21.解：(1)设切点为(x0,lnx0), k=f¢(x)= = ,x0 = 2 ,\切点为(2,ln2),
代入y= x + m得：m = ln2-1.----------------4分
(2)设y = ax+b切f(x)于(t,lnt)(t>0), f¢(x)= , \ f¢(t)= ,
则切线方程为：y = (x-t)+lnt ,y = x+lnx-1 , a= ,b= lnt-1
\ab= (lnt-1), 令g(t)= (lnt-1), g¢(t)= - (lnt-1)+ =
若tÎ(0,e2)时，g¢(t)>0，\ g(t)在(0,e2)上单调增；tÎ(e2,+¥)时，g¢(t)<0, \ g(t)在(e2,+¥)上单调递减；所以，当t= e2时，ab的最大值为：
g(e2)= (lne2-1)= ------------------------8分
(3)先证：<< ,即证：<< ,
只证：1- <ln< - 1 , 令= t >1, 设h(m) =lnt–t +1 ,
h¢(m)= - 1<0 , 所以：h(t)在(1,+ ¥)上单调递减，则h(t)<h(1)=ln1-1+1=0,
即证：ln< – 1. 以下证明：1- <ln
令p(t)= lnt+-1 , p¢(t)= - >0 , 所以：p(t)= lnt+-1在(1,+ ¥)上单调递增，即：p(t)>p(1)= 0 ,即有：lnt+-1>0, \1- <ln 获证.
故<< 成立 ,同理可证：<< ，综上可知：：> 成立------------12分
选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，假如多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号.
22.
解：（I）连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系
A
C
P
D
O
E
F B
结合题中条件弧长等于弧长可得
,
又,,
从而,故∽,
∴, …………4分
由割线定理知,故. …………6分
（II）若圆F与圆内切，设圆F的半径为r，由于即
所以是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT
则，即 …………10分
23.解：（I），
， ………（2分）
， …………（3分）
即，．…………（5分）
（II）：直线上的点向圆C 引切线长是
，
…………（8分）
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 ………（10分）
24.解：(1)不等式，即。
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集为；
当时，即，即或，
即或者，解集为。……………………5分
（Ⅱ）函数的图象恒在函数图象的上方，即对任意实数恒成立。即对任意实数恒成立。
由于，故只要.
所以的取值范围是. ……………………10分
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