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双基限时练(八)
1．下列函数以π为周期的是( )
A．y＝cosx B．y＝sinx
C．y＝1＋cos2x D．y＝cos3x
答案 C
2．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析 f(x)＝sin＝－sin
＝－cos2x.
∴最小正周期为T＝＝π，且为偶函数．
答案 B
3．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )
解析 明显D中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复消灭．而A、C中每经过一个单位长度，图象重复消灭．B中图象每经过2个单位，图象重复消灭．所以A、B、C中函数是周期函数，D中函数不是周期函数．
答案 D
4．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A. B.
C. D.
解析 ∵f(x)＝sin是偶函数，∴f(0)＝±1.
∴sin＝±1.
∴＝kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．
又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，φ＝.故选C.
答案 C
5．函数y＝cos(k＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )
A．10 B．11
C．12 D．13
解析 ∵T＝＝≤2，∴k≥4π，
又k∈Z，∴正整数k的最小值为13.
答案 D
6．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于( )
A．1 B.
C．0 D．－
解析 f＝f＝f＝sinπ＝.
答案 B
7．函数y＝sin2x的最小正周期T＝________.
解析 T＝＝π.
答案 π
8．y＝3sin的最小正周期为π，则a＝______.
解析 由最小正周期的定义知＝π，∴|a|＝2，a＝±2.
答案 ±2
9．已知f(n)＝sin(n∈Z)，那么f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________.
解析 ∵f(n)＝sin(n∈Z)，∴f(1)＝，f(2)＝1，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－1，f(7)＝－，f(8)＝0，…，不难发觉，f(n)＝sin(n∈Z)的周期T＝8，且每一个周期内的函数值之和为0.
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(100)
＝f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)
＝＋1＋＋0＝＋1.
答案 ＋1
10．函数y＝的奇偶性为________．
解析 由题意，当sinx≠1时，y＝＝cosx，所以函数的定义域为，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．
答案 非奇非偶函数
11．函数f(x)满足f(x＋2)＝－.
求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．
解 由于f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)
＝－＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且4是它的一个周期．
12．推断函数f(x)＝ln(sinx＋)的奇偶性．
解 ∵>|sinx|≥－sinx，
∴sinx＋>0.
∴定义域为R.
又f(－x)＝ln
＝ln(－sinx)
＝ln
＝ln(＋sinx)－1
＝－ln(sinx＋)
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
13．设有函数f(x)＝asin和函数g(x)＝bcos(a＞0，b＞0，k＞0)，若它们的最小正周期之和为，且f＝g，f＝－g－1，求这两个函数的解析式．
解 ∵f(x)和g(x)的最小正周期之和为，
∴＋＝，解得k＝2.
∵f＝g，
∴asin
＝bcos，
即a·sin＝b·cos.
∴a＝b，即a＝b.①
又f＝－g－1，
则有a·sin＝－b·cos－1，
即a＝b－1.②
由①②解得a＝b＝1，
∴f(x)＝sin，
g(x)＝cos.
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