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课时提升作业(三十二)
基本不等式
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2021·杭州模拟)若a,b∈R且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )
A.a+b≥2ab B.1a+1b>2ab
C.ba+ab≥2 D.a2+b2>2ab
【解析】选C.由于ab>0,所以ba>0,ab>0.
由基本不等式得ba+ab≥2,
当且仅当ba=ab,
即a=b时等号成立.故选C.
【加固训练】设0<a<b,则下列不等式中正确的是( )
A.a<b<ab<a+b2
B.a<ab<a+b2<b
C.a<ab<b<a+b2
D.ab<a<a+b2<b
【解析】选B.方法一:令a=1,b=4,
则ab=2,a+b2=52,
所以a<ab<a+b2<b.
方法二:由于0<a<b,所以a2<ab,
所以a<ab,a+b<2b,
所以a+b2<b,所以a<ab<a+b2<b.
2.(2021·韶关模拟)若a<1,则a+1a-1的最大值是( )
A.3 B.a C.-1 D.2aa-1
【解析】选C.由于a<1,所以a-1<0,
因此a+1a-1=a-1+1a-1+1
≤-2(1-a)·11-a+1=-1,
当且仅当1-a=11-a,
即a=0时取最大值-1,故选C.
3.当x>0时,函数f(x)=2xx2+1有( )
A.最小值1 B.最大值1
C.最小值2 D.最大值2
【思路点拨】利用x>0将函数分子、分母同除以x后利用基本不等式可解.
【解析】选B.由x>0得f(x)=2xx2+1=2x+1x≤22x·1x=1,等号成立条件是x=1.
4.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围
是( )
A.-∞,14 B.0,14
C.-14,0 D.-∞,14
【思路点拨】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解.
【解析】选A.由已知得圆心坐标为(-1,2),
故-2a-2b+2=0,即a+b=1,
故ab≤a+b22=14.
5.(2021·台州模拟)已知a>0,b>0,且2是2a与b的等差中项,则1ab的最小值
为( )
A.14 B.12 C.2 D.4
【解析】选B.由已知可得2a+b=4,因此4≥22ab,所以0<ab≤2,故1ab≥12,即1ab的最小值为12,当且仅当a=1,b=2时取等号.
6.已知a>0,b>0,a+b=2,则1a+4b的最小值是( )
A.72 B.4 C.92 D.5
【解析】选C.由已知可得1a+4b=a+b2·1a+4b=12+2ab+b2a+2≥52+22ab·b2a=92,当且仅当a=23,b=43时取等号,即1a+4b的最小值是92.
7.若a>0,b>0,且a+b=1,则ab+1ab的最小值为( )
A.2 B.4 C.174 D.22
【思路点拨】由已知利用基本不等式得ab的取值范围而后换元利用函数的单调性求解.
【解析】选C.由a+b=1,a>0,b>0得
2ab≤a+b=1,所以ab≤12,所以ab≤14.
令ab=t,则0<t≤14,
则ab+1ab=t+1t,结合函数的图象可知y=t+1t在(0,14]上单调递减,故当t=14时,t+1t有最小值为14+4=174.
8.(2022·浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
A.245 B.285 C.5 D.6
【解析】选C.由x+3y=5xy可得15y+35x=1,
所以3x+4y=(3x+4y)15y+35x
=95+45+3x5y+12y5x
≥135+23x5y·12y5x=135+125=5,
当且仅当x=1,y=12时取等号,
故3x+4y的最小值是5.
【误区警示】本题在求解中简洁毁灭的错误是:对x+3y运用基本不等式得到xy的范围,再对3x+4y运用基本不等式,然后通过不等式的传递性得到3x+4y的最值,忽视了基本不等式中等号成立的条件,没有留意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不全都,从而导致错误.
【方法技巧】妙用“1”的代换求代数式的最值
在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常的解决方法是变量替换或常值“1”的替换,即由已知条件得到某个式子的值为常数,然后将欲求最值的代数式乘上常数,再对代数式进行变形整理,从而可利用基本不等式求最值.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.已知x<54,则函数y=4x-2+14x-5的最大值为 .
【解析】由于x<54,所以5-4x>0,
所以y=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3
≤-2+3=1,当且仅当5-4x=15-4x,
即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.
答案:1
10.(2021·济南模拟)若点A(1,1)在直线mx+ny-2=0上,其中mn>0,则1m+1n的最小值为 .
【解析】由于点A(1,1)在直线mx+ny-2=0上,
所以m+n=2.
又mn>0,则1m+1n=m+n21m+1n
=121+nm+mn+1≥2,
当且仅当m=n=1时等号成立.
答案:2
【加固训练】(2021·济宁模拟)函数f(x)=ax-1+3(a>0,且a≠1)的图象过一个定点P,且点P在直线mx+ny-1=0(m>0,n>0)上,则1m+4n的最小值是( )
A.12 B.13 C.24 D.25
【解析】选D.函数f(x)=ax-1+3恒过点P(1,4),
所以m+4n-1=0,m+4n=1.
所以1m+4n=1m+4n(m+4n)=1+4nm+4mn+16≥25.
当且仅当nm=mn,即m=n=15时等号成立,故选D.
11.(2021·衢州模拟)已知a>0,b>0,若不等式2a+1b≥m2a+b恒成立,则m的最大值等于 .
【解析】由于a>0,b>0,所以不等式可化为m≤(2a+b)·2a+1b,而(2a+b)2a+1b=4+2ab+2ba+1≥5+22ab·2ba=9,当且仅当2ab=2ba,即a=b时(2a+b)2a+1b取最小值9,所以不等式恒成立时m的最大值等于9.
答案:9
12.(力气挑战题)爬山是一种简洁好玩的野外运动,有益于身心健康,但要留意平安,预备好必需物品,把握好速度.现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山的速度为v2(v1≠v2),乙上山和下山的速度都是v1+v22(甲、乙两人中途不停留且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t1,t2的大小关系为 .
【解析】设上山路程为h,同理下山路程为h,
则依题意有t1=hv1+hv2=h·v1+v2v1v2>h·2v1v2v1v2
=h·2v1v2,t2=2hv1+v22=h·4v1+v2<h·42v1v2
=h·2v1v2,故t1>t2.
答案:t1>t2
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.(2021·海淀模拟)若x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30.
(1)求xy的取值范围.
(2)求x+y的取值范围.
【解析】由x+2y+xy=30,得(2+x)y=30-x,
又2+x≠0,所以y=30-x2+x>0,0<x<30.
(1)xy=-x2+30xx+2=-x2-2x+32x+64-64x+2
=-x-64x+2+32=-(x+2)+64x+2+34≤18,
当且仅当x=6,y=3时取等号,
因此xy的取值范围是(0,18].
(2)x+y=x+30-x2+x=x+32x+2-1
=x+2+32x+2-3≥82-3,
当且仅当x=42-2,y=42-1时,等号成立.
由y=30-x2+x>0,得x<30.
由于x+y=x+2+32x+2-3(0<x<30),
令x+2=t(2<t<32),
则由函数f(t)=t+32t的性质可知,
当2<t<32时,f(t)<f(32)=33,
所以x+2+32x+2-3<30,即x+y<30.
所以x+y的取值范围是[82-3,30).
14.已知x>0,y>0,且2x+5y=20.
(1)求u=lgx+lgy的最大值.
(2)求1x+1y的最小值.
【解析】(1)由于x>0,y>0,
所以由基本不等式,得2x+5y≥210xy.
由于2x+5y=20,所以210xy≤20,xy≤10,当且仅当2x=5y时,等号成立.
因此有2x+5y=20,2x=5y,解得x=5,y=2,
此时xy有最大值10.
所以u=lgx+lgy=lg(xy)≤lg10=1.
所以当x=5,y=2时,u=lgx+lgy有最大值1.
(2)由于x>0,y>0,
所以1x+1y=1x+1y·2x+5y20
=1207+5yx+2xy≥1207+25yx·2xy
=7+21020,
当且仅当5yx=2xy时,等号成立.
由2x+5y=20,5yx=2xy,解得x=1010-203,y=20-4103.
所以1x+1y的最小值为7+21020.
15.(力气挑战题)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本,并方案以后每年比上一年多投入100万元科技成本.估量产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80n+1.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.
(1)求出f(n)的表达式.
(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?
【解析】(1)第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为80n+1元,科技成本投入为100n万元.
所以,年利润为f(n)=(10+n)100-80n+1-100n(n∈N*).
(2)由(1)知f(n)=(10+n)100-80n+1-100n
=1000-80n+1+9n+1≤520.
当且仅当n+1=9n+1,
即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.
所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.
【加固训练】某单位用2160万元购得一块空地,方案在该地块上建筑一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,假如将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积)
【解析】由题意知每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x=10 800x.所以每平方米的平均综合费用
y=560+48x+10 800x=560+48x+225x(x≥10),
当x+225x取最小值时,y有最小值.
由于x>0,所以x+225x≥2x·225x=30,
当且仅当x=225x,即x=15时,上式等号成立.
所以当x=15时,y有最小值2000元.
因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少.
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