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A组 考点基础演练
一、选择题
1．下列函数在(0，＋∞)上是增函数的是( )
A．y＝ln(x－2) B．y＝－
C．y＝x－x－1 D．y＝x－
解析：函数y＝ln(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，函数y＝－在(0，＋∞)上单调递减；函数y＝x－x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增；函数y＝x－在(－∞，0)单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．故选C.
答案：C
2．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
解析：函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－2＋的减区间为，
∴函数f(x)的单调减区间为.
答案：D
3．函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠1}，对定义域中任意的x，都有f(2－x)＝f(x)，且当x<1时，f(x)＝2x2－x，那么当x>1时，f(x)的递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：由f(2－x)＝f(x)，得函数图象关于直线x＝1对称，当x<1时，递减区间是，由对称性得，选C.
答案：C
4．(2021年长沙模拟)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝取函数f(x)＝2－|x|.当k＝时，函数fk(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析：由f(x)≤得：2－|x|≤，即－|x|≤
解得：x≤－1或x≥1，
∴函数fk(x)＝
由此可见，函数fk(x)在(－∞，－1)单调递增．
故答案为：(－∞，－1)．
答案：C
5．已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
解析：依据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．
a＝f＝f，所以b>a>c.
答案：D
二、填空题
6．已知函数f(＋2)＝x＋2，则函数f(x)的值域为________．
解析：令2＋＝t，则x＝(t－2)2(t≥2)．
∴f(t)＝(t－2)2＋2(t－2)＝t2－2t(t≥2)．
∴f(x)＝x2－2x(x≥2)．
∴f(x)＝(x－1)2－1≥(2－1)2－1＝0，即f(x)的值域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
7．已知函数f(x)＝x|a－x|(x∈R)，且f(2)＝0，则函数f(x)的单调递减区间为________．
解析：由f(2)＝0得a＝2.所以f(x)＝x|2－x|
＝，
由图象可知单调递减区间为(1,2)．
答案：(1,2)
8．使函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，实数k的取值范围是________．
解析：由于y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数．故若使函数y＝＝＝2＋在(3，＋∞)上是增函数，则有4＋k<0，得k<－4.
答案：(－∞，－4)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2x＋＋c其中b，c为常数且满足f(1)＝5，f(2)＝6.
(1)求b，c的值；
(2)证明：函数f(x)在区间(0,1)上是减函数；
(3)求函数y＝f(x)，x∈的值域．
解析：(1)f(x)＝2x＋＋c
⇒，
∴.
(2)证明：设x1，x2∈(0,1)且x1<x2
∵f(x)＝2x＋＋1
∴f(x2)－f(x1)＝－
＝2(x2－x1)＋
＝2(x2－x1)
＝<0
∴f(x2)<f(x1)
∴f(x)在(0,1)上是减函数．
(3)由(2)知函数在(0,1)上是减函数，易知在(1，＋∞)上是增函数
当x∈时f(x)min＝f(1)＝5
又∵f＝6，f(3)＝，
f(3)>f，
∴f(x)max＝，
∴f(x)的值域是.
10．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
解析：(1)证明：设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，
∵f(x2)－f(x1)＝－
＝－＝>0，
∴f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
(2)∵f(x)在上的值域是，又f(x)在上单调递增，
∴f＝，f(2)＝2.∴a＝.
B组 高考题型专练
1．(2021年青岛质量检测)在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
(1)对任意a∈R，a*0＝a；
(2)对任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．
关于函数f(x)＝*的性质，有如下说法：①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为偶函数；③函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0]．
其中全部正确说法的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由题意可得f(x)＝*＝ex·＋(ex*0)＋＝1＋ex＋，由于ex>0，所以1＋ex＋≥1＋2 ＝3，故①正确；f(－x)＝1＋＋ex＝f(x)，故②正确；f ′(x)＝ex－≥0得x∈[0，＋∞)，故③错．从而正确说法的个数为2.
答案：C
2．设函数f(x)＝x－，对任意x∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：对任意x∈[1，＋∞)，f(2mx)＋2mf(x)<0恒成立，即2mx－＋2m<0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即<0在x∈[1，＋∞)上恒成立，故m<0，由于8m2x2－(1＋4m2)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，所以x2>在x∈[1，＋∞)上恒成立，所以1>，解得m<－或m>(舍去)，故m<－.
答案：A
3．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝e|x－a|＝
∴f(x)在[a，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤1.
答案：
4．已知函数f(x)＝(a是常数且a>0)，对于下列命题：
①函数f(x)在R上是单调函数；②函数f(x)的最小值是－1；③若在上f(x)>0恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<.
其中正确命题的序号是________．
解析：当x>0时，留意到a>0，函数f(x)是斜率大于0的一次函数，是增函数，而当x≤0时，函数可化为f(x)＝x－2，是减函数．函数在两段区间上的增减性不同，故①错误；由①知函数f(x)在(－∞，0]上是单调减函数，在(0，＋∞)上是单调增函数且连续，所以f(x)的最小值是f(0)＝－1，②正确；当x>0时，留意到函数f(x)是增函数，所以只需要f>0即可，解得a>1，③正确；对于④，当x≤0时，函数f(x)＝e－x－2的图象是把函数y＝ex的图象关于y轴对称后下移两个单位得到的，由图象可以直接看出是凹函数，因而④正确．
答案：②③④
5．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
解析：(1)证明：任设x1<x2<－2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)任设1<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述知a的取值范围是(0,1]．
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