2021高中数学北师大版选修1-1学案：《双曲线及其标准方程》.docx

第7课时双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义.2.把握双曲线的标准方程、几何图形.3.理解标准方程中a,b,c的关系,并能利用双曲线中a,b,c的关系处理“焦点三角形”中的相关运算.如图所示,某农场在M处有一堆肥料沿道路MA或MB送到稻田ABCD中去,已知|MA|=6,|MB|=8,|BC|=3,AMB=90,能否在稻田中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿MA送肥料较近,而另一侧沿MB送肥料较近?若能,请建立适当的直角坐标系,求出这条界线的方程.问题1:双曲线的标准方程的定义双曲线的标准方程分两种状况:焦点在x轴上时,双曲线标准方程为(a0,b0);焦点在y轴上时,标准方程为(a0,b0).问题2:双曲线的定义中应留意的问题双曲线的定义用代数式表示为MF1-MF2=2a(0ac),关于定义要重点留意两点:(1)留意定义表述中的“确定值”字眼,假如取消确定值的限制,则动点的轨迹可分为以下几种状况:若MF1-MF2=2a(0ac),则轨迹为双曲线中焦点对应的一支;若MF2-MF1=2a(0a|F1F2|)|MF1|-|MF2|=2a(02a0,b0),点A,B在双曲线右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一个焦点,则ABF1的周长为().A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=3,c=4,焦点在x轴上.(2)右焦点与抛物线y2=24x的焦点是同一个点,经过点A(6,5).已知动圆与C1:(x+3)2+y2=9外切,且与C2:(x-3)2+y2=1内切,求动圆圆心M的轨迹方程.1.双曲线x210-y22=1的焦距为().A.32B.42C.33D.432.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为().A.-1k1C.k1或kF1F2问题3:(1)x2a2-y2b2=1(a0,b0)(2)y2a2-x2b2=1(a0,b0)(3)mx2+ny2=1(mnb0)x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2+x2b2=1(ab0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)基础学习沟通1.D依据双曲线的定义可得.2.C由于b2=c2-a2=49-25=24,且焦点位置不确定,所以所求双曲线的标准方程为x225-y224=1或y225-x224=1.3.-1由于双曲线焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程为y2-8k-x2-1k=1,所以k0,又(0,3)是双曲线的一个焦点,则c=3,于是有-8k-1k=32=9,解得k=-1.4.解:(1)设双曲线的标准方程为mx2+ny2=1(mn0,b0),所以a2+b2=9,16a2-15b2=1,解得a2=4,b2=5,所以所求双曲线的标准方程为y24-x25=1.重点难点探究探究一:【解析】(1)设双曲线的两个焦点分别为A,B,由定义,|PA|-|PB|=4,|8-|PB|=4,|PB|=4或|PB|=12.(2)在x29-y216=1中,a=3,b=4,c2=a2+b2=25,c=5,|PF2|=|F1F2|=2c=10.又P为双曲线C的右支上一点,|PF1|-|PF2|=2a=6,|PF1|=16.过点F2作F2TPF1于T,则T为PF1的中点,且|PT|=8,|F2T|=6,SPF1F2=12166=48.【答案】(1)C(2)C【小结】双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上的点P(x0,y0)满足方程x02a2-y02b2=1(a0,b0),符合定义|PF1|-|PF2|=2a.双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,F1PF2=,由于|F1F2|=2c,所以有:定义:|r1-r2|=2a;余弦公式:4c2=r12+r22-2r1r2cos ;面积公式:SPF1F2=12r1r2sin .一般地,在PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺当解决.探究二:【解析】(1)(法一)椭圆x24+y2=1的焦点是(-3,0)和(3,0),双曲线的焦点也在x轴上,且c=3.设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则4a2-1b2=1且a2+b2=3.解得a2=2,b2=1,故标准方程为x22-y2=1.(法二)椭圆x24+y2=1的焦点坐标为(-3,0)和(3,0),双曲线的两个焦点坐标也是(-3,0)和(3,0).点(2,1)在双曲线上,则2a=|(2+3)2+1-(2-3)2+1|=2(3+1)-2(3-1)=22,a=2.从而b2=3-2=1.双曲线的标准方程为x22-y2=1.(2)(法一)当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0).由P1,P2在双曲线上,知(-2)2a2-(325)2b2=1,(437)2a2-42b2=1,解之得1a2=-116,1b2=-19.不合题意,舍去;当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0).由P1,P2在双曲线上,知(325)2a2-(-2)2b2=1,42a2-(437)2b2=1,解之得1a2=19,1b2=116,即a2=9,b2=16.故所求双曲线方程为y29-x216=1.(法二)双曲线的焦点位置不确定,可设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0,b0)或y2a2-x2b2=1(a0,b0),焦点位置不定时,亦可设为mx2+ny2=1(mn0).(3)寻关系:依据已知条件列出关于a,b,c(m,n)的方程组.(4)得方程:解方程组,将a,b(m,n)代入所设方程即可求得标准方程.探究三:【解析】设动圆M的半径为r.(1)C与M内切,点A在C外.MC=r-2,MA=r,MA-MC=2,点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线,且有a=22,c=2,b2=c2-a2=72,点M的轨迹方程为2x2-2y27=1.(2)M与C1、C2都外切,设动圆M的半径为r.MC1=r+1,MC2=r+2,MC2-MC1=1,点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线,且有a=12,c=1,b2=c2-a2=34.点M的轨迹方程为4y2-4x23=1.问题(1)(2)中的轨迹都是完整的双曲线吗?结论不是,依据双曲线的定义,轨迹都应当是双曲线的一支.于是正确解答如下:设动圆M的半径为r.(1)C与M内切,点A在C外.MC=r-2,MA=r,MA-MC=2.点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支,且有a=22,c=2,b2=c2-a2=72,点M的轨迹方程为2x2-2y27=1(x-22).(2)M与C1、C2都外切,设动圆M的半径为r,MC1=r+1,MC2=r+2,MC2-MC1=1,点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支,且有a=12,c=1,b2=c2-a2=34.易求两圆交点坐标为(154,34),观看图像可知,x必需满足x154,点M的轨迹方程为4y2-4x23=1(y12,x154).【小结】假如求解的动点轨迹方程是双曲线方程,要特殊留意所得轨迹是双曲线的两支还是其中一支.思维拓展应用应用一:B设ABF1的周长为Z,则Z=|AF1|+|BF1|+|AB|=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+|AF2|+|BF2|+|AB|=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB|=2a+2a+2m=4a+2m.应用二:(1)由题设a=3,c=4,由c2=a2+b2得,b2=c2-a2=42-32=7.由于双曲线的焦点在x轴上,所以所求双曲线的标准方程为x29-y27=1.(2)由y2=24x得抛物线焦点坐标为(6,0),c=6.由于点A(6,5)在双曲线上,所以点A与两焦点的距离的差的确定值是常数2a,即2a=|(6+6)2+(5-0)2-(6-6)2+(5-0)2|=|13-5|=8,则a=4,b2=c2-a2=62-42=20.因此,所求双曲线的标准方程是x216-y220=1.应用三:设动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r,则|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,|MC1|-|MC2|=r+3-r+1=40,1-k0,解得k-1,k1,即-1k1.3.33由双曲线方程x264-y236=1知,a=8,b=6,则c=a2+b2=10.P是双曲线上一点,|PF1|-|PF2|=2a=16,又|PF1|=17,|PF2|=1或|PF2|=33.又|PF2|c-a=2,|PF2|=33.4.解:当k=0时,方程变为y=2,表示两条与x轴平行的直线;当k=1时,方程变为x2+y2=4表示圆心在原点,半径为2的圆;当k0时,方程变为y24-x2-4k=1,表示焦点在y轴上的双曲线;当0k1时,方程变为x24k+y24=1,表示焦点在y轴上的椭圆.全新视角拓展44可知a=3,b=4,c=5,由双曲线的定义得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6,两个等式相加得|PF|+|QF|=28,故PQF的周长为44.思维导图构建差的确定值小于x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)