2021高中数学北师大版选修1-1学案：《双曲线及其标准方程》.docx

第7课时　双曲线及其标准方程

1.了解双曲线的定义.
2.把握双曲线的标准方程、几何图形.
3.理解标准方程中a,b,c的关系,并能利用双曲线中a,b,c的关系处理“焦点三角形”中的相关运算.

如图所示,某农场在M处有一堆肥料沿道路MA或MB送到稻田ABCD中去,已知|MA|=6,|MB|=8,|BC|=3,∠AMB=90°,能否在稻田中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿MA送肥料较近,而另一侧沿MB送肥料较近?若能,请建立适当的直角坐标系,求出这条界线的方程.

问题1:双曲线的标准方程的定义
双曲线的标准方程分两种状况:焦点在x轴上时,双曲线标准方程为　　　　　　　(a>0,b>0);焦点在y轴上时,标准方程为　　　　　　　　　(a>0,b>0). 
问题2:双曲线的定义中应留意的问题
双曲线的定义用代数式表示为MF1-MF2=2a(0<a<c),关于定义要重点留意两点:
(1)留意定义表述中的“确定值”字眼,假如取消确定值的限制,则动点的轨迹可分为以下几种状况:
①若MF1-MF2=2a(0<a<c),则轨迹为双曲线中焦点　　　　对应的一支; 
②若MF2-MF1=2a(0<a<c),则轨迹为双曲线中焦点　　　　对应的一支. 
(2)留意“到两个焦点F1(-c,0),F2(c,0)的距离之差的确定值小于F1F2”这一条件,若无此限制,则可能消灭下列情形:
①当　　　　　　时,动点的轨迹是始终线上以F1,F2为端点向外的两条射线; 
②当　　　　　　时,动点轨迹不存在. 
问题3:用待定系数法求双曲线的标准方程
(1)假如明确了双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,则双曲线方程可设为　　　　　　; 
(2)假如明确了双曲线的中心在原点,焦点在y轴上,则双曲线方程可设为　　　　　　; 
(3)以坐标轴为对称轴的双曲线方程可设为　　　　　　. 

　　问题4:试比较双曲线与椭圆的异同.

椭圆
双曲线
定义
|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)
||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)
a,b,c的关系

标
准
方
程
焦点在x轴上

焦点在y轴上

1.平面内有两个定点F1(-5,0)和F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是(　　).
A.x216-y29=1(x≤-4)　　　 B.x29-y216=1(x≤-3)
C.x216-y29=1(x≥4) D.x29-y216=1(x≥3)
2.已知双曲线的a=5,c=7,则该双曲线的标准方程为(　　).
A.x225-y224=1 B.y225-x224=1
C.x225-y224=1或y225-x224=1 D.x225-y224=0或y225-x224=0
3.若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标是(0,3),则实数k的值为　　　　. 
4.(1)求经过点P(-3,27)和Q(-62,-7)的双曲线的标准方程;
(2)已知双曲线与椭圆x227+y236=1有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求双曲线的方程.

双曲线的定义及应用
(1)若双曲线x24-y212=1上的一点P到它的右焦点的距离为8,则点P到它的左焦点的距离是(　　).
A.4　　　　 B.12　　　 C.4或12　　 D.6
(2)已知双曲线C:x29-y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积等于(　　).
A.24 B.36 C.48 D.96

求双曲线的标准方程
(1)与椭圆x24+y2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是(　　).
A.x22-y2=1 B.x24-y2=1
C.x23-y23=1 D.x2-y22=1
(2)已知双曲线过P1(-2,325)和P2(437,4)两点,求双曲线的标准方程.

双曲线的定义和标准方程在解题中的应用
求下列动圆圆心M的轨迹方程.
(1)与☉C:(x+2)2+y2=2内切,且过点A(2,0);
(2)与☉C1:x2+(y-1)2=1和☉C2:x2+(y+1)2=4外切.

已知双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),点A,B在双曲线右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一个焦点,则△ABF1的周长为(　　).
A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m

求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)a=3,c=4,焦点在x轴上.
(2)右焦点与抛物线y2=24x的焦点是同一个点,经过点A(6,5).

已知动圆与☉C1:(x+3)2+y2=9外切,且与☉C2:(x-3)2+y2=1内切,求动圆圆心M的轨迹方程.

1.双曲线x210-y22=1的焦距为(　　).
A.32　　　 B.42　　　 C.33　　　 D.43
2.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为(　　).
A.-1<k<1 B.k>1 C.k<-1 D.k>1或k<-1
3.已知P是双曲线x264-y236=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为　　　　. 
4.已知方程kx2+y2=4,其中k∈R,试就k的不同取值争辩方程所表示的曲线类型.

(2021年·辽宁卷)已知F为双曲线C:x29-y216=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为　　　　. 
　　考题变式(我来改编):

第7课时　双曲线及其标准方程
学问体系梳理
问题1:x2a2-y2b2=1　y2a2-x2b2=1
问题2:(1)①F2　②F1　(2)①2a=F1F2　②2a>F1F2
问题3:(1)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)　(2)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)　(3)mx2+ny2=1(mn<0)
问题4:a2=b2+c2　a2+b2=c2　x2a2+y2b2=1(a>b>0)
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)　y2a2+x2b2=1(a>b>0)　y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
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1.D　依据双曲线的定义可得.
2.C　由于b2=c2-a2=49-25=24,且焦点位置不确定,所以所求双曲线的标准方程为x225-y224=1或y225-x224=1.
3.-1　由于双曲线焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程为y2-8k-x2-1k=1,所以k<0,又(0,3)是双曲线的一个焦点,则c=3,于是有-8k-1k=32=9,解得k=-1.
4.解:(1)设双曲线的标准方程为mx2+ny2=1(m·n<0),
又双曲线经过点P(-3,27)和Q(-62,-7),
所以28n+9m=1,49n+72m=1,解得n=125,m=-175,
所以所求双曲线的标准方程为y225-x275=1.
(2)由于椭圆x227+y236=1的焦点为(0,-3),(0,3),A点的坐标为(±15,4),设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),所以a2+b2=9,16a2-15b2=1,解得a2=4,b2=5,所以所求双曲线的标准方程为y24-x25=1.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)设双曲线的两个焦点分别为A,B,由定义,||PA|-|PB||=4,|8-|PB||=4,|PB|=4或|PB|=12.

(2)在x29-y216=1中,a=3,b=4,c2=a2+b2=25,∴c=5,
∴|PF2|=|F1F2|=2c=10.
又∵P为双曲线C的右支上一点,
∴|PF1|-|PF2|=2a=6,
∴|PF1|=16.
过点F2作F2T⊥PF1于T,则T为PF1的中点,且|PT|=8,
∴|F2T|=6,∴S△PF1F2=12×16×6=48.
【答案】(1)C　(2)C
【小结】双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的点P(x0,y0)满足方程x02a2-y02b2=1(a>0,b>0),符合定义||PF1|-|PF2||=2a.双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,由于|F1F2|=2c,所以有:
①定义:|r1-r2|=2a;
②余弦公式:4c2=r12+r22-2r1r2cos θ;
③面积公式:S△PF1F2=12r1r2sin θ.
一般地,在△PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺当解决.
　　探究二:【解析】(1)(法一)椭圆x24+y2=1的焦点是(-3,0)和(3,0),∴双曲线的焦点也在x轴上,且c=3.
设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则4a2-1b2=1且a2+b2=3.解得a2=2,b2=1,故标准方程为x22-y2=1.
(法二)椭圆x24+y2=1的焦点坐标为(-3,0)和(3,0),
∴双曲线的两个焦点坐标也是(-3,0)和(3,0).
∵点(2,1)在双曲线上,则
2a=|(2+3)2+1-(2-3)2+1|=2(3+1)-2(3-1)=22,∴a=2.从而b2=3-2=1.
∴双曲线的标准方程为x22-y2=1.
(2)(法一)当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).
由P1,P2在双曲线上,知(-2)2a2-(325)2b2=1,(437)2a2-42b2=1,解之得1a2=-116,1b2=-19.不合题意,舍去;
当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).
由P1,P2在双曲线上,知(325)2a2-(-2)2b2=1,42a2-(437)2b2=1,解之得1a2=19,1b2=116,即a2=9,b2=16.
故所求双曲线方程为y29-x216=1.
(法二)∵双曲线的焦点位置不确定,∴可设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0).
∵P1,P2在双曲线上,
∴4m+454n=1,169×7m+16n=1,解得m=-116,n=19.
故所求双曲线方程为-x216+y29=1,即y29-x216=1.
【答案】(1)A
【小结】1.求双曲线标准方程的两个关键点:肯定位(焦点在哪条轴上),二定量(确定a2,b2).
2.待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤:
(1)定位置:依据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上,还是两种都有可能.
(2)设方程:依据焦点位置,设其方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)或y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),焦点位置不定时,亦可设为mx2+ny2=1(m·n<0).
(3)寻关系:依据已知条件列出关于a,b,c(m,n)的方程组.
(4)得方程:解方程组,将a,b(m,n)代入所设方程即可求得标准方程.
　　探究三:【解析】设动圆M的半径为r.
(1)∵☉C与☉M内切,点A在☉C外.
∴MC=r-2,MA=r,MA-MC=2,
∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线,且有a=22,c=2,b2=c2-a2=72,∴点M的轨迹方程为2x2-2y27=1.
(2)∵☉M与☉C1、☉C2都外切,设动圆M的半径为r.
∴MC1=r+1,MC2=r+2,MC2-MC1=1,
∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线,且有a=12,c=1,b2=c2-a2=34.
∴点M的轨迹方程为4y2-4x23=1.
[问题](1)(2)中的轨迹都是完整的双曲线吗?
[结论]不是,依据双曲线的定义,轨迹都应当是双曲线的一支.
于是正确解答如下:
设动圆M的半径为r.
(1)∵☉C与☉M内切,点A在☉C外.
∴MC=r-2,MA=r,MA-MC=2.
∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支,且有a=22,c=2,b2=c2-a2=72,
∴点M的轨迹方程为2x2-2y27=1(x≤-22).
(2)∵☉M与☉C1、☉C2都外切,设动圆M的半径为r,
∴MC1=r+1,MC2=r+2,MC2-MC1=1,
∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支,且有a=12,c=1,b2=c2-a2=34.
易求两圆交点坐标为(±154,34),观看图像可知,x必需满足x<-154或x>154,∴点M的轨迹方程为4y2-4x23=1(y≥12,x<-154或x>154).
【小结】假如求解的动点轨迹方程是双曲线方程,要特殊留意所得轨迹是双曲线的两支还是其中一支.
思维拓展应用
应用一:B　设△ABF1的周长为Z,则
Z=|AF1|+|BF1|+|AB|
=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+|AF2|+|BF2|+|AB|
=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB|
=2a+2a+2m=4a+2m.
　　应用二:(1)由题设a=3,c=4,
由c2=a2+b2得,b2=c2-a2=42-32=7.
由于双曲线的焦点在x轴上,所以所求双曲线的标准方程为x29-y27=1.
(2)由y2=24x得抛物线焦点坐标为(6,0),∴c=6.由于点A(6,5)在双曲线上,所以点A与两焦点的距离的差的确定值是常数2a,即2a=|(6+6)2+(5-0)2-(6-6)2+(5-0)2|=|13-5|=8,则a=4,b2=c2-a2=62-42=20.
因此,所求双曲线的标准方程是x216-y220=1.
　　应用三:设动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r,
则|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,
∴|MC1|-|MC2|=r+3-r+1=4<|C1C2|=6,
由双曲线的定义知,点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支,且2a=4,a=2,其轨迹方程为:x24-y25=1(x≥2).
基础智能检测
1.D　由双曲线的标准方程可知,a2=10,b2=2.于是有c2=a2+b2=12,则2c=43.故选D.
2.A　由题意得1+k>0,1-k>0,解得k>-1,k<1,即-1<k<1.
3.33　由双曲线方程x264-y236=1知,a=8,b=6,则c=a2+b2=10.∵P是双曲线上一点,∴||PF1|-|PF2||=2a=16,又|PF1|=17,∴|PF2|=1或|PF2|=33.又|PF2|≥c-a=2,∴|PF2|=33.
4.解:①当k=0时,方程变为y=±2,表示两条与x轴平行的直线;
②当k=1时,方程变为x2+y2=4表示圆心在原点,半径为2的圆;
③当k<0时,方程变为y24-x2-4k=1,表示焦点在y轴上的双曲线;
④当0<k<1时,方程变为x24k+y24=1,表示焦点在x轴上的椭圆;
⑤当k>1时,方程变为x24k+y24=1,表示焦点在y轴上的椭圆.
全新视角拓展
44　可知a=3,b=4,c=5,由双曲线的定义得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6,两个等式相加得|PF|+|QF|=28,故△PQF的周长为44.
思维导图构建
差的确定值　小于　x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)　y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)