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其次章 ２．3 第3课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．下列函数中，不具有奇偶性的函数是( )
A．y＝ex－e－x B．y＝lg
C．y＝cos2x D．y＝sinx＋cosx
答案 D
2．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数
答案 D
3．已知f(x)为奇函数，当x>0，f (x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( )
A．－x(1－x) B．x(1－x)
C．－x(1＋x) D．x(1＋x)
答案 B
解析 当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．
4．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
答案 A
解析 由f(x)是偶函数知b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx是奇函数．
5．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
答案 D
解析 令x≤0，则－x≥0，所以f(－x)＝2－x－2x＋b，又由于f(x)在R上是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，即b＝－1，f(x)＝－2－x＋2x＋1，所以f(－1)＝－2－2＋1＝－3，故选D.
6．设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，则f2011(x)＝( )
A．－ B．x
C. D.
答案 C
解析 由题得f2(x)＝f()＝－，f3(x)＝f(－)＝，f4(x)＝f()＝x，f5(x)＝＝f1(x)，其周期为4，所以f2011(x)＝f3(x)＝.
7．设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
答案 B
解析 当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x3－8，
又f(x)是偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝－x3－8，
∴f(x)＝.
∴f(x－2)＝，
或，
解得x>4或x<0.故选B.
二、填空题
8．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝________.
答案 －1
解析 f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a.
∵f(x)为偶函数，∴a＋1＝0，∴a＝－1.
9．设f(x)＝ax5＋bx3＋cx＋7(其中a，b，c为常数，x∈R)，若f(－2011)＝－17，则f(2011)＝________.
答案 31
解析 f(2011)＝a·20115＋b·20113＋c·2011＋7
f(－2011)＝a(－2011)5＋b(－2011)3＋c(－2011)＋7
∴f(2011)＋f(－2011)＝14，∴f(2011)＝14＋17＝31.
10．函数f(x)＝x3＋sinx＋1的图象关于________点对称．
答案(0,1)
解析 f(x)的图象是由y＝x3＋sin x的图象向上平移一个单位得到的．
11．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，总有f(x＋2)＝－f(x)成立，则f(19)＝________.
答案 0
解析 依题意得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的函数，因此有f(19)＝f(4×5－1)＝f(－1)＝f(1)，且f(－1＋2)＝－f(－1)，即f(1)＝－f(1)，f(1)＝0，因此f(19)＝0.
12．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f(5)的大小关系是__________．
答案 f(5)<f(－1)<f(4)
解析 ∵y＝f(x＋2)为偶函数
∴y＝f(x)关于x＝2对称
又y＝f(x)在(－∞，2)上为增函数
∴y＝f(x)在(2，＋∞)上为减函数，而f(－1)＝f(5)
∴f(5)＜f(－1)＜f(4)．
13．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的推断：
①f(x)是周期函数；
②f(x)关于直线x＝1对称；
③f(x)在[0,1]上是增函数；
④f(x)在[1,2]上是减函数；
⑤f(2)＝f(0)，
其中正确的序号是________．
答案 ①②⑤
解析 由f(x＋1)＝－f(x)得
f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
∴f(x)是周期为2的函数，①正确，
f(x)关于直线x＝1对称，②正确，
f(x)为偶函数，在[－1,0]上是增函数，
∴f(x)在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)．因此③、④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．
三、解答题
14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)、g(x)的解析式．
答案 f(x)＝x2－2，g(x)＝x
解析 ∵f(x)＋g(x)＝x2＋x－2.①
∴f(－x)＋g(－x)＝(－x)2＋(－x)－2.
又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(x)－g(x)＝x2－x－2.②
由①②解得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x)在[0,1)上单调递减，并满足f(2－x)＝f(x)，若方程f(x)＝－1在[0,1)上有实数根，求该方程在区间[－1,3]上的全部实根之和．
答案 2
解析 由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又由于函数f(x)是奇函数，则f(x)在(－1,1)上单调递减，依据函数f(x)的单调性，方程f(x)＝－1在(－1,1)上有唯一的实根，依据函数f(x)的对称性，方程f(x)＝－1在(1,3)上有唯一的实根，这两个实根关于直线x＝1对称，故两根之和等于2.
16．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
答案 (1)a＝2，b＝1 (2)k<－
解析 (Ⅰ)由于f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即＝0⇒b＝1
∴f(x)＝
又由f(1)＝－f (－1)知＝－⇒a＝2.
(Ⅱ)解法一 由(Ⅰ)知f(x)＝，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0
等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：
t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0，
从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－
拓展练习·自助餐
1．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
答案 0
2．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
答案 －1
解析 令g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，由于函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.
3．假如奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是( )
A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5
答案 B
解析 先考查函数f(x)在[－7，－3]上的最值，由已知，当3≤x≤7时，f(x)≥5，则当－7≤x≤－3时，f(－x)＝－f(x)≤－5即f(x)在[－7，－3]上最大值为－5.再考查函数f(x)在[－7，－3]上的单调性，设－7≤x1<x2≤－3.则3≤－x2<－x1≤7，由已知－f(x2)＝f(－x2)<f(－x1)＝－f(x1)，从而f(x2)>f(x1)，即f (x)在[－7，－3]上是单调递增的．
4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且{x|f(x)＞0}＝{x|1＜x＜3}，则f(π)＋f(－2)与0的大小关系是( )
A．f(π)＋f(－2)＞0 B．f(π)＋f(－2)＝0
C．f(π)＋f(－2)＜0 D．不确定
答案 C
解析 由已知得f(π)<0，f(－2)＝－f(2)＜0，因此f(π)＋f(－2)＜0.
5．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为________．
答案 (－1,0)∪(0,1)
解析 由f(x)为奇函数，则不等式化为xf(x)<0
法一：(图象法)由，可得－1<x<0或0<x<1时，x·f(x)<0.
法二：(特值法)取f(x)＝x－，则x2－1<0且x≠0，解得－1<x<1，且x≠0.
6．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝，则f(3)＝________.
解析 ∵f(x＋1)＝－f(x)，则f(x)＝－f(x＋1)＝－[－f(x＋2)]＝f(x＋2)，则f(x)的周期为2，f(3)＝f(1)＝－1.
老师备选题
1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.
(1)证明函数f(x)为周期函数；
(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论．
解析 (1)由
⇒⇒f(4－x)＝f(14－x)
⇒f(x)＝f(x＋10)
∴f(x)为周期函数，T＝10.
(2)∵f(3)＝f(1)＝0, f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0
故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，
从而可知函数y＝f(x)在[0,2005]上有402个解，
在[－2005,0]上有400个解，
所以函数y＝f(x)在[－2005,2005]上有802个解．
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