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第2讲 平面对量基本定理及坐标表示
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·沈阳质量检测)已知在▱ABCD中，＝(2,8)，＝(－3,4)，则＝ ( )
A．(－1，－12) B．(－1,12)
C．(1，－12) D．(1,12)
解析 由于四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋＝(－1,12)．
答案 B
2．(2022·福建卷)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是 ( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
解析 由题意知，A选项中e1＝0，C，D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B．
答案 B
3．(2022·青岛质量检测)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的 ( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A．
答案 A
4．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于 ( )
A．－a＋b B．a－b
C．－a－b D．－a＋b
解析 设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，
∴∴∴c＝a－b.
答案 B
5．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2 ，则 ( )
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
解析 由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.
答案 A
二、填空题
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________.
解析 由于a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又由于u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝.
答案
7．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________.
解析 ＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
答案
8．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
解析 以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.
答案 4
三、解答题
9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．
∴＝(9，－18)．
10．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.
解 法一 设＝a，＝b，
则a＝＋＝d＋， ①
b＝＋＝c＋. ②
将②代入①，得a＝d＋，
∴a＝d－c＝(2d－c)，③
将③代入②，得b＝c＋×(2d－c)＝(2c－d)．
∴＝(2d－c)，＝(2c－d)．
法二 设＝a，＝b.因M，N分别为CD，BC的中点，
所以＝b，＝a，
因而⇒
即＝(2d－c)，＝(2c－d)．
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为 ( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析 由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，
整理得b2＋a2－c2＝ab，
由余弦定理得cos C＝＝，
又0°<C<180°，∴C＝60°.
答案 B
12．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ ＋μ ，则λ＋μ＝ ( )
A．2 B．
C．2 D．4
解析 由于|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又＝λ ＋μ ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
答案 A
13．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________.
解析 由题意得＝(－3,1)，＝(2－m,1－m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠.
答案 m≠
14．如图，已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
解 如图所示，以A，B，C为顶点的平行四边形可以有三种状况：
①▱ABCD；②▱ADBC；③▱ABDC．设D的坐标为(x，y)，
①若是▱ABCD，则由＝，得
(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)，
即(－1,2)＝(－1－x，－2－y)，
∴∴x＝0，y＝－4.
∴D点的坐标为(0，－4)(如图中所示的D1)．
②若是▱ADBC，由＝，得
(0,2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1,0)，
即(1,4)＝(x－1，y)，解得x＝2，y＝4.
∴D点的坐标为(2,4)(如图中所示的D2)．
③若是▱ABDC，则由＝，得
(0,2)－(1,0)＝(x，y)－(－1，－2)，
即(－1,2)＝(x＋1，y＋2)．
解得x＝－2，y＝0.
∴D点的坐标为(－2,0)(如图中所示的D3)，
∴以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0).
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