资源描述
选择、填空题训练(九)
【选题明细表】
学问点、方法
题号
集合与常用规律用语
1、3
平面对量
9、16
不等式
2、15
函数
10、13
三角函数与解三角形
6、9、11
数列
4、12
立体几何
5、14
解析几何
7、8、17
一、选择题
1.(2022温州中学月考)已知集合A={x|0<x<2},B={x|(x-1)(x+1)>0},则A∩B等于( B )
(A)(0,1) (B)(1,2)
(C)(-∞,-1)∪(0,+∞) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:由于B={x|x<-1或x>1},
所以A∩B={x|1<x<2}.故选B.
2.(2021潍坊一模)在约束条件下,目标函数z=x+y的最大值为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分.
其中A(,),B(,),
O(0,0),将直线l:z=x+y平移,
可得当l经过点A时,目标函数z达到最大值,
∴z最大值=+×=.
故选C.
3.(2021高三浙江“六市六校”联盟)“m=”是“直线l1:(m+1)x+2my+1=0与直线l2:(m-1)x+(m+1)y-3=0相互垂直”的( A )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:若l1⊥l2,则有(m+1)(m-1)+2m·(m+1)=0,
解得m=或m=-1.
所以“m=”是“直线l1⊥l2”的充分不必要条件,
故选A.
4.(2022嘉兴二模)已知函数f(x)=若数列{an}的前n项和为Sn,且a1=,an+1=f(an),则S2022等于( A )
(A)895 (B)896 (C)897 (D)898
解析:a2=f()=,a3=f()=-,a4=f(-)=,明显数列{an}中各项以3为周期重复毁灭.
∴S2022=(a1+a2+a3)×671+a1=895.故选A.
5.(2022宁波二模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 ( B )
(A)若m∥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n
(B)若m⊥α,n⊥β且m⊥n,则α⊥β
(C)若α⊥β,m∥n且n⊥β,则m∥α
(D)若m⊂α,n⊂β且m∥n,则α∥β
解析:对于选项A,可能m∥n;对于选项C,可能m⊂α;对于选项D,平面α与平面β可能相交.故选B.
6.(2022温州二模)已知函数f(x)=,则有( B )
(A)函数f(x)的图象关于直线x=对称
(B)函数f(x)的图象关于点(,0)对称
(C)函数f(x)的最小正周期为
(D)函数f(x)在区间(0,π)内单调递减
解析:f(x)===-tan x,则选项A错;f(x)不是轴对称图形,选项B正确;周期为π,选项C错;在(0,π)内不是单调函数,选项D错.
7.(2022台州一模)若P是抛物线x2=4y上的一个动点,则点P到直线l1:y=-1,l2:3x+4y+12=0的距离之和的最小值为( C )
(A)3 (B)4 (C) (D)
解析:抛物线x2=4y的焦点F(0,1),准线l1:y=-1,由抛物线定义知点P到直线l1的距离等于PF,因此点P到直线l1,l2的距离之和最小值为点F到直线l2的距离,最小值为=,故选C.
8.(2022嘉兴一模)离心率为的椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点,且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列,则双曲线C2的离心率等于( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:设椭圆C1:+=1(a1>b1>0),
双曲线C2:-=1(a>0,b>0),
则-=a2+b2=c2,a1=2c,a1=2b1,
椭圆顶点A(a1,0)、B(0,b1)、焦点F(c,0)到双曲线一条渐近线bx+ay=0的距离依次为、、,
从而2ab1=a1b+bc,
所以2a·c=2bc+bc,
即2a=b,
所以4a2=3b2=3(c2-a2),7a2=3c2,e==.
故选C.
9.已知向量a=(1,2),b=(sin θ,cos θ)(θ∈R),若不等式a·(ka-b)≤0恒成立,则实数k的取值范围是( D )
(A)[,+∞) (B)(-∞,]
(C)[-,+∞) (D) (-∞,-]
解析:a·(ka-b)=ka2-a·b=5k-(sin θ+2cos θ)≤0,
所以5k≤sin θ+2cos θ恒成立,
而sin θ+2cos θ=sin(θ+)(tan =2,0<≤),
所以sin θ+2cos θ的最小值等于-,因此5k≤-,
解得k≤-.故选D.
10.(2021广西一模)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有>0.对于下列命题:
①f(3)=0;
②直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;
③函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数;
④函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点.
其中正确命题的序号为( B )
(A)①②③ (B)①②④ (C)②③④ (D)①③④
解析:①对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,令x=-3,则f(-3+6)=f(-3)+f(3),即f(-3)=0,又由于f(x)是R上的偶函数,所以f(3)=0.故①正确.
②由①知f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期为6,又由于f(x)是R上的偶函数,关于y轴对称.所以直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴.故②正确.
③当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有>0,
所以函数y=f(x)在[0,3]上为增函数,
由于f(x)是R上的偶函数,所以函数y=f(x)在[-3,0]上为减函数,
而f(x)的周期为6,所以函数y=f(x)在[-9,-6]上为减函数.故③不正确.
④f(3)=0,f(x)的周期为6,
所以f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,
函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点,故④正确.
故选B.
二、填空题
11.在锐角△ABC中,角A,B所对的边分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于 .
解析:依据正弦定理得2sin Asin B=sin B,
则sin A=,
又△ABC为锐角三角形,
所以A=.
答案:
12.(2021湖州模拟)等差数列{an}中,若a1=-12,S13=0,则使得an>0成立的最小正整数n为 .
解析:设等差数列的公差为d,
则S13=13×(-12)+d=0,
解得d=2,于是an=-12+2(n-1)=2n-14,
令an=2n-14>0得n>7,故n的最小正整数值为8.
答案:8
13.已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是 .
解析:令g(x)=|x-a|,则g(x)的单调增区间为[a,+∞).
∵y=ex在R上为增函数,
∴函数f(x)=e|x-a|的单调增区间为[a,+∞),
∴[1,+∞)⊆[a,+∞).
∴a≤1.
答案:(-∞,1]
14.(2022浙江嘉兴二模)已知某几何体的三视图如图,则该几何体的体积是 .
解析:如图所示该几何体为四棱柱ABCDA1B1C1D1中挖去三棱锥DA1C1D1的剩余部分.于是其体积为×(1+2)×1×2-××1×1×2=.
答案:
15.(2021浙江六校联考)设0<m<,若+≥k恒成立,则k的最大值为 .
解析:+==,
由0<m<,得1-3m>0,
所以m(1-3m)=·3m·(1-3m)≤·()2=,
当且仅当m=时取等号,所以的最小值是12.
从而k≤12,故k的最大值是12.
答案:12
16.已知平面对量a,b(a≠0,a≠b)满足|b|=1,且a与b-a的夹角为120°,则|a|的取值范围是 .
解析:作=b,=a,则=b-a,如图所示,则在△ABC中,∠ACB=60°,
AB=1,设∠ABC=θ,由正弦定理得|a|=AC=·sin θ=,
由∠ACB=60°知,0°<θ<120°,0<sin θ≤1,
故|a|的取值范围为(0,].
答案(0,].
17.若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点(1,)作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A、B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .
解析:设点D(1,),
由平面几何学问易知,AB⊥OD,∴kAB=-2.
设AB方程为y=-2x+m.
又过点(1,)作圆x2+y2=1的切线中有一条是x=1,
不妨设B(1,0).把x=1,y=0代入AB方程,可得m=2.
由题意可知,b=2,c=1,∴a2=5.∴椭圆方程为+=1.
答案:+=1
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