2013-2020学年高中数学(人教A版必修四)作业：综合质量评估(全册).docx

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综合质量评估
第一至第三章
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2021·菏泽高一检测)cos-20π3的值是　(　　)
A.12 B.-12 C.32 D.-32
2.已知扇形的圆心角为23π弧度，半径为2，则扇形的面积是　(　　)
A.83π B.43 C.2π D.43π
3.已知sinα-cosα=2，α∈(0，π)，则tanα=　(　　)
A.-1 B.-22 C.22 D.1
4.(2021·浙江高考)函数f(x)=sinxcosx+32cos2x的最小正周期和振幅分别是
　(　　)
A.π，1 B.π，2 C.2π，1 D.2π，2
5.(2022·安徽高考)在平面直角坐标系中，O(0，0)，P(6，8)，将向量OP→绕点O按逆时针旋转3π4后得向量OQ→，则点Q的坐标是　(　　)
A.(-72，-2) B.(-72，2)
C.(-46，-2) D.(-46，2)
6.在△ABC中，AB→=a，AC→=b，且BD→=12DC→，则AD→=　(　　)

A.43a-13b B.23a+13b
C.13a-43b D.13a+23b
7.设a=12cos 6°-32sin 6°，b=2sin 13°cos 13°，c=1-cos50°2，则有　(　　)
A.c<b<a B.a<b<c
C.a<c<b D.b<c<a
8.(2022·新课标全国卷)已知ω>0，0<φ<π，直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=
sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ=　(　　)
A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4
9.已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是　(　　)
A.a∥b B.a⊥b
C.|a|=|b| D.a+b=a-b
10.如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2，则有　(　　)

A.ω=2π15，A=3 B.ω=2π15，A=5
C.ω=15π2，A=5 D.ω=15π2，A=3
11.把函数y=cos2x+1的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是
(　　)

12.若向量OP1→，OP2→，OP3→满足条件OP1→+OP2→+OP3→=0，|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1，则△P1P2P3的外形是　(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.不能确定
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上)
13.f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2的图象如图所示，则f(x)=　　　　.

14.(2022·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为　　　　，DE→·DC→的最大值为　　　　.
15.(2021·四川高考)设sin2α=-sinα，α∈π2,π，则tan2α的值是　　　　.
16.关于下列结论：
①函数y=tanx在第一象限是增函数；
②函数f(x)=cos 2π4-x是偶函数；
③函数y=4sin2x-π3的一个对称中心是π6,0；
④函数y=sinx+π4在闭区间-π2,π2上是增函数.
写出全部正确的结论的序号：　　　　　.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(1，2)，B(-3，4).
(1)求向量AB→的坐标及|AB→|.
(2)求向量OA→与OB→的夹角的余弦值.
18.(12分)(2021·辽宁高考)设向量a=(3sinx，sinx)，b=(cosx，sinx)，x∈0,π2.
(1)若|a|=|b|，求x的值.
(2)设函数f(x)=a·b，求f(x)的最大值.
19.(12分)(2021·天水高一检测)已知a=(6，2)，b=(-3，k)，当k为何值时，
(1)a∥b？
(2)a⊥b？
(3)a与b的夹角为钝角？
20.(12分)已知函数f(x)=sin2x+π6+sin2x-π6+cos 2x+4.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值.
(2)已知f(α)=5，求tanα的值.
21.(12分)如图，矩形ABCD的长AD=23，宽AB=1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限.求OB2的最大值.

22.(12分)(力气挑战题)已知向量m=sin12x,1，n=43cos12x,2cosx，设函数f(x)=m·n.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求函数f(x)，x∈[-π，π]的单调递增区间.
(3)设函数h(x)=f(x)-k(k∈R)在区间[-π，π]上的零点的个数为n，摸索求n的值及对应的k的取值范围.

答案解析
1.【解析】选B.cos-20π3=cos20π3=cos6π+2π3=cos2π3=-12.
2.【解析】选D.由S扇形=12|α|R2，可得S扇形=12×23π×22=43π.
3.【解析】选A.将等式sinα-cosα=2两边平方，
得到2sinαcosα=-1，整理得1+2sinαcosα=0，即
sin2α+cos2α+2sinαcosα=0，
得(sinα+cosα)2=0，
所以sinα+cosα=0，
又sinα-cosα=2，
故tanα=sinαcosα=-1.
4.【解题指南】先利用公式把函数f(x)转化为y=Asin(ωx+φ)的形式再求解.
【解析】选A. f(x)=sinxcosx+32cos2x=12sin2x+32cos2x=sin2x+π3，所以A=1，T=π.
5.【解析】选A.将向量OP→=(6，8)按逆时针旋转3π2后得OM→=(8，-6)，则OQ→=-12(OP→+OM→)=(-72，-2).
6.【解析】选B.由于AB→=a，AC→=b，
且BD→=12DC→，
所以AD→=AB→+BD→=a+13BC→
=a+13(AC→-AB→)=a+13(b-a)=23a+13b.
7.【解析】选C.由已知可得a=sin24°，b=sin 26°，c=sin 25°，所以a<c<b.
8.【解题指南】通过相邻对称轴获得函数的周期，从而确定ω的值，将其中一条对称轴方程代入函数f(x)的解析式，求得φ值.
【解析】选A.由题意可知函数f(x)的周期T=2×5π4-π4=2π，故ω=1，
所以f(x)=sin(x+φ)，
令x+φ=kπ+π2，将x=π4代入可得φ=kπ+π4，
由于0<φ<π，所以φ=π4.
9.【解题指南】将所给等式两边平方，找到两个向量的关系.
【解析】选B.|a+b|=|a-b|⇒|a+b|2=|a-b|2⇒a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2⇒a·b=0⇒a⊥b.
10.【解析】选A.由题意知水轮每分钟旋转4圈，即每秒旋转2π15rad，所以ω=2π15；又水轮上的最高点距离水面r+2=5(米)，所以y的最大值A+2=5，A=3.
11.【解析】选A.把函数y=cos2x+1的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y=cosx+1的图象，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的函数解析式是y=cos(x+1)，此函数图象是A.
12.【解析】选C.由OP1→+OP2→+OP3→=0，知O为三角形的重心，由|OP1→|=|OP2→|=|OP3→|=1，知O为三角形的外心，所以此三角形为等边三角形.
13.【解析】由题干图知A=2-(-2)2=2，T4=56-13，所以T=2，所以ω=π，当x=13时，有13π+φ=π2+2kπ，k∈Z，又|φ|<π2，故解得φ=π6.故函数解析式为f(x)=
2sin(πx+π6).
答案：f(x)=2sin(πx+π6)
14.【解题指南】可利用图形中的直角关系建系用坐标计算.也可以适当选取基向量进行计算.
【解析】方法一：如图所示，以AB，AD所在直线分别为x，y轴建立坐标系，
设E(t，0)，0≤t≤1，则D(0，1)，B(1，0)，C(1，1)，DE→=(t，-1)，CB→=(0，-1)，DC→=(1，0)，所以DE→·CB→=1，DE→·DC→=t≤1.

方法二：选取{AB→，AD→}作为基向量，
设AE→=tAB→，0≤t≤1，
则DE→·CB→=(tAB→-AD→)·(-AD→)
=-tAB→·AD→+AD→  2 22=0+1=1，
DE→·DC→=(tAB→-AD→)·AB→=t≤1.
答案：1　1
15.【解题指南】本题考查的是简洁的三角恒等变换，在解题时要留意公式的机敏运用，特殊是二倍角公式与同角关系公式.
【解析】依据题意sin2α=-sinα，可得2sinαcosα=-sinα，可得cosα=-12，tanα=-3，所以tan2α=2tanα1-tan2α=-23-2=3.
答案：3
16.【解析】函数y=tanx在kπ-π2,kπ+π2(k∈Z)上是增函数，不能说在第一象限是增函数，故①错.
由于f(-x)=cos 2π4+x≠cos 2π4-x，
故不是偶函数，故②错误.
对于函数y=4sin2x-π3，
当2x-π3=kπ(k∈Z)，
即x=kπ2+π6(k∈Z)，
当k=0时，得到x=π6，
故π6,0是该函数的一个对称中心，③正确.
函数y=sinx+π4在-π2,π4上是增函数，在π4,π2上是减函数，故④错误.
答案：③
17.【解析】(1)由于A(1，2)，B(-3，4)，
所以AB→=OB→-OA→=(-3，4)-(1，2)=(-4，2).
所以|AB→|=(-4)2+22=25.
(2)设OA→与OB→的夹角为θ.
由于OA→·OB→=5，|OA→|=5，|OB→|=5，
所以cosθ=OA→·OB→|OA→||OB→|=55×5=55.
18.【解析】(1)由a=(3sinx，sinx)，b=(cosx，sinx)，得|a|2=(3sinx)2+
(sinx)2=4sin2x，
|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1.
又由于|a|=|b|，所以4sin2x=1.
又x∈0,π2，所以sinx=12，x=π6.
(2)函数f(x)=a·b=(3sinx，sinx)·(cosx，sinx)
=3sinxcosx+sin2x
=32×2sinxcosx+1-cos2x2
=32sin2x-12cos2x+12
=cosπ6sin2x-sinπ6cos2x+12
=sin2xcosπ6-cos2xsinπ6+12
=sin2x-π6+12.
由于x∈0,π2，所以-π6≤2x-π6≤5π6，
故-12≤sin2x-π6≤1，0≤sin2x-π6+12≤32，
即f(x)的最大值为32.
19.【解析】(1)当a∥b时，6k-2×(-3)=0，解得k=-1.
(2)当a⊥b时，a·b=0，即6×(-3)+2k=0，得k=9.
(3)设a与b的夹角为θ，则cosθ=a·b|a||b|<0且a·b|a||b|≠-1，得k<9且k≠-1.
20.【解析】(1)f(x)=2sin 2xcosπ6+cos 2x+4
=3sin 2x+cos 2x+4=2sin2x+π6+4.
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，最大值为6.
(2)由f(α)=5，得3sin 2α+cos 2α=1，
即3sin 2α=1-cos 2α，
即23sinαcosα=2sin2α，
所以sinα=0或tanα=3，
所以tanα=0或tanα=3.
21.【解题指南】设∠OAD=θ，求出B点的坐标，建立OB2关于θ的函数，求最大值.
【解析】过点B作BH⊥OA，垂足为H.

设∠OAD=θ0<θ<π2，则∠BAH=π2-θ，
OA=23cosθ，
BH=sinπ2-θ=cosθ，AH=cosπ2-θ=sinθ，
所以B(23cosθ+sinθ，cosθ)，
OB2=(23cosθ+sinθ)2+cos2θ
=7+6cos2θ+23sin2θ=7+43sin2 θ+π3.
由0<θ<π2，知π3<2θ+π3<4π3，
所以当θ=π12时，OB2取得最大值7+43.
22.【解析】(1)f(x)=m·n=43sin12xcos12x+2cosx=23sinx+2cosx=4sinx+π6.
(2)由(1)，知f(x)=4sinx+π6，x∈[-π，π]，
所以x+π6∈-5π6,7π6，
由-π2≤x+π6≤π2，解得-2π3≤x≤π3，
所以函数f(x)的单调递增区间为-2π3,π3.
(3)当x∈[-π，π]时，函数h(x)=f(x)-k的零点争辩如下：
当k>4或k<-4时，h(x)无零点，n=0；
当k=4或k=-4时，h(x)有一个零点，n=1；
当-4<k<-2或-2<k<4时，h(x)有两个零点，n=2；
当k=-2时，h(x)有三个零点，n=3.
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