2021高中数学北师大版选修1-1学案：《计算导数》.docx

第3课时计 算 导 数1.能依据定义,求函数y=c,y=x,y=x2,y=1x等的导数.2.熟记函数y=c,y=x,y=x2,y=1x等的导数.3.运用y=c,y=x,y=x2,y=1x等的导数公式解决问题.4.熟记基本初等函数的导数公式.依据导数的概念,我们知道可以用定义法求函数f(x)=x3的导数,那么是否有公式法来求它的导数呢?问题1:由导数的定义求f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=1x的导数.对于f(x)=x,f(x)=limx0f(x+x)-f(x)x=1,即f(x)=x=1.对于f(x)=x2,f(x)=limx0f(x+x)-f(x)x=limx0(x+x)2-x2x=limx02xx+(x)2x=,即f(x)=(x2)=.对于f(x)=1x,f(x)=limx0f(x+x)-f(x)x=limx01x+x-1xx=limx0x-(x+x)x(x+x)x=limx0-1x(x+x)=.即f(x)=(1x)=-1x2.问题2:(1)导函数的概念:假如一个函数f(x)在区间(0,b)上的每一个点x处都有导数,导数值记为f(x),f(x)=limx0f(x+x)-f(x)x,则f(x)是关于x的函数,称f(x)为f(x)的导函数,简称导数.(2)几个常用函数的导数.原函数导函数f(x)=cf(x)=f(x)=xf(x)=f(x)=x2f(x)=f(x)=1xf(x)=f(x)=xf(x)=问题3:基本初等函数的导数公式.(1)c=(cR);(2)(xn)=(nQ);(3)(sin x)=,(cos x)=;(4)(ex)=,(ax)=;(5)(ln x)=,(logax)=1xlna.问题4:利用导数的定义求导与导数公式求导的区分.导函数定义本身就是函数求导的最基本方法,但导函数是由定义的,所以函数求导总是要归结为求,这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,但是用导函数定义推导出常见函数与基本初等函数公式后,求函数的导函数就可以用公式直接求导了,简洁快速.1.下列结论不正确的是( ).A.若y=0,则y=0B.若y=5x,则y=5C.若y=x-1,则y=-x-2D.若y=x12,则y=12x122.若函数f(x)=x,则f(1)等于( ).A.0B.-12C.1D.123.若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为.4.求曲线y=x4在点P(2,16)处的切线方程.直接用导数公式求函数的导数(1)求下列函数的导数:y=x12;y=1x4; y=5x3.(2)设f(x)=10x,则f(1)=.导数的综合应用若曲线y=x-12在点(a,a-12)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于( ).A.64B.32C.16D.8f(a)和f(a)含义要搞清已知f(x)=sin x,求f(a)和f(a).求下列函数的导数:(1)y=x13;(2)y=1x3;(3)y=4x;(4)y=log3x;(5)y=sin x;(6)y=15x2.求证:在双曲线xy=a2(a0)上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为常数(如图).(1)若函数f(x)=x3,则f(2)等于().A.8B.12C.1D.0(2)已知f(x)=x2+3xf(2),则f(2)=.1.已知f(x)=x,若f(-1)=-2,则的值等于( ).A.2B.-2C.3D.-32.曲线y=x2在点P处的切线斜率为k,当k=2时P点坐标为( ).A.(-2,-8)B.(-1,-1)C.(1,1)D.(-12,-18)3.曲线y=4x3在点Q(16,8)处的切线的斜率是.4.求下列函数的导数:(1)y=log4x3-log4x2;(2)y=2x2+1x-2x;(3)y=-2sinx2(2sin2x4-1).(2022年辽宁卷)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为().A.1B.3C.-4D.-8考题变式(我来改编):第3课时计 算 导 数学问体系梳理问题1:limx0(x+x)-xx2x2x-1x2问题2:(2)012x-1x212x问题3:(1)0(2)nxn-1(3)cos x-sin x(4)exaxln a(5)1x1xlogae问题4:极限极限基础学习沟通1.D当y=x12时, y=(x12)=12x-12,D不正确,故应选D.2.Df(x)=(x)=12x,所以f(1)=121=12,故应选D.3.某物体作瞬时速度为1的匀速运动由导数的物理意义可知:y=1可以表示某物体作瞬时速度为1的匀速运动.4.解:点P(2,16)在曲线上,k=f(2)=32,切线方程为y-16=32(x-2),即32x-y-48=0. 重点难点探究探究一:【解析】(1)y=(x12)=12x11;y=(1x4)=(x-4)=-4x-5=-4x5;y=(5x3)=(x35)=35x-25=355x2.(2)f(x)=10x,f(x)=10xln 10,f(1)=10ln 10.【答案】(2)10ln 10【小结】依据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式,熟记基本初等函数的求导公式可以快速解题.探究二:【解析】y=-12x-32,k=-12a-32,切线方程是y-a-12=-12a-32(x-a).令x=0得y=32a-12,令y=0得x=3a,三角形的面积是S=123a32a-12=18,解得a=64.故选A.【答案】A【小结】利用导数求切线方程时,明确函数在x=x0的导数就是切线的斜率.探究三:【解析】 f(a)=f(a)=f(x)x=a=cosxx=a=cosa.问题f(a)与f(a)的含义相同吗?结论 f(a)与f(a)的含义不同.上面的解法是将f(a)与f(a)混为一谈.于是,正确解答为:由于f(x)=(sin x)=cos x,而f(a)表示导数f(x)在x=a处的值,故f(a)=cos a;f(a)表示函数f(x)在x=a时的函数值f(a)=sin a(常数)的导数,因此f(a)=0.【小结】学好数学只需要六个字:“理解、记忆、运算”,熟记基本初等函数的求导公式是正确解题的前提.思维拓展应用应用一:(1)y=(x13)=13x13-1=13x12.(2)y=(1x3)=(x-3)=-3x-3-1=-3x-4.(3)y=(4x)=(x14)=14x14-1=14x-34.(4)y=(log3x)=1xlog3e=1xln3.(5)y=(sin x)=cos x.(6)y=(15x2)=(x-25)=-25x-25-1=-25x-75.应用二:由于xy=a2,所以y=a2x,所以y=(a2x)=-a2x2,函数y=a2x在图像上的任一点(x0,y0)处的切线斜率k=-a2x02,y0=a2x0,所以切线方程是y-y0=k(x-x0),即y-a2x0=-a2x02(x-x0),令x=0,得y=2a2x0,令y=0,得x=2x0,所以S=12|x|y|=12|2a2x0|2x0|=2a2,为常数.即在双曲线xy=a2(a0)上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.应用三:(1)D(2)-2(1)由于f(2)是常数,所以f(2)=0.留意区分f(2)与f(2).(2)由题意,得f(x)=2x+3f(2),f(2)=22+3f(2),f(2)=-2.基础智能检测1.Af(x)=x-1,f(-1)=(-1)-1=-2,代入验证得=2.2.C设点P的坐标为(x0,y0),y=x2,y=2x.k=y|x=x0=2x0=2,x0=1,y0=x02=1,即P(1,1),故应选C.3.38y=x34,y=34x-14,y|x=16=38.4.解:(1)y=log4x3-log4x2=log4x,y=(log4x)=1xln4.(2)y=2x2+1x-2x=2x2+1-2x2x=1x,y=(1x)=-1x2.(3)y=-2sinx2(2sin2x4-1)=2sinx2(1-2sin2x4)=2sinx2cosx2=sin x,y=(sin x)=cos x.全新视角拓展C可确定点P,Q的坐标为P(4,8),Q(-2,2),又由于y=x,所以过点P,Q的切线的斜率分别为kP=4,kQ=-2,所以两条切线方程分别为y=4x-8,y=-2x-2,联立方程可得A(1,-4),故点A的纵坐标为-4.