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第3课时 计 算 导 数
1.能依据定义,求函数y=c,y=x,y=x2,y=1x等的导数.
2.熟记函数y=c,y=x,y=x2,y=1x等的导数.
3.运用y=c,y=x,y=x2,y=1x等的导数公式解决问题.
4.熟记基本初等函数的导数公式.
依据导数的概念,我们知道可以用定义法求函数f(x)=x3的导数,那么是否有公式法来求它的导数呢?
问题1:由导数的定义求f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=1x的导数.
对于f(x)=x,f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx= =1,即f'(x)=x'=1.
对于f(x)=x2,f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→0(x+Δx)2-x2Δx=limΔx→02Δx·x+(Δx)2Δx= ,
即f'(x)=(x2)'= .
对于f(x)=1x,f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→01x+Δx-1xΔx=limΔx→0x-(x+Δx)x(x+Δx)Δx=limΔx→0-1x(x+Δx)= .即f'(x)=(1x)'=-1x2.
问题2:(1)导函数的概念:假如一个函数f(x)在区间(0,b)上的每一个点x处都有导数,导数值记为f'(x),f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx,则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)的导函数,简称导数.
(2)几个常用函数的导数.
原函数
导函数
f(x)=c
f'(x)=
f(x)=x
f'(x)=
f(x)=x2
f'(x)=
f(x)=1x
f'(x)=
f(x)=x
f'(x)=
问题3:基本初等函数的导数公式.
(1)c'= (c∈R);
(2)(xn)'= (n∈Q);
(3)(sin x)'= ,(cos x)'= ;
(4)(ex)'= ,(ax)'= ;
(5)(ln x)'= ,(logax)'= =1xlna.
问题4:利用导数的定义求导与导数公式求导的区分.
导函数定义本身就是函数求导的最基本方法,但导函数是由 定义的,所以函数求导总是要归结为求 ,这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,但是用导函数定义推导出常见函数与基本初等函数公式后,求函数的导函数就可以用公式直接求导了,简洁快速.
1.下列结论不正确的是( ).
A.若y=0,则y'=0 B.若y=5x,则y'=5
C.若y=x-1,则y'=-x-2 D.若y=x12,则y'=12x12
2.若函数f(x)=x,则f'(1)等于( ).
A.0 B.-12 C.1 D.12
3.若y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为 .
4.求曲线y=x4在点P(2,16)处的切线方程.
直接用导数公式求函数的导数
(1)求下列函数的导数:
①y=x12;②y=1x4;③ y=5x3.
(2)设f(x)=10x,则f'(1)= .
导数的综合应用
若曲线y=x-12在点(a,a-12)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于( ).
A.64 B.32 C.16 D.8
f'(a)和[f(a)]'含义要搞清
已知f(x)=sin x,求f'(a)和[f(a)]'.
求下列函数的导数:
(1)y=x13;(2)y=1x3;(3)y=4x;
(4)y=log3x;(5)y=sin x;(6)y=15x2.
求证:在双曲线xy=a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为常数(如图).
(1)若函数f(x)=x3,则[f(2)]'等于( ).
A.8 B.12 C.1 D.0
(2)已知f(x)=x2+3xf'(2),则f'(2)= .
1.已知f(x)=xα,若f'(-1)=-2,则α的值等于( ).
A.2 B.-2 C.3 D.-3
2.曲线y=x2在点P处的切线斜率为k,当k=2时P点坐标为( ).
A.(-2,-8) B.(-1,-1) C.(1,1) D.(-12,-18)
3.曲线y=4x3在点Q(16,8)处的切线的斜率是 .
4.求下列函数的导数:
(1)y=log4x3-log4x2;
(2)y=2x2+1x-2x;
(3)y=-2sinx2(2sin2x4-1).
(2022年·辽宁卷)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为( ).
A.1 B.3 C.-4 D.-8
考题变式(我来改编):
第3课时 计 算 导 数
学问体系梳理
问题1:limΔx→0(x+Δx)-xΔx 2x 2x -1x2
问题2:(2)0 1 2x -1x2 12x
问题3:(1)0 (2)nxn-1 (3)cos x -sin x (4)ex ax·ln a (5)1x 1x·logae
问题4:极限 极限
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1.D 当y=x12时, y'=(x12)'=12x-12,D不正确,故应选D.
2.D f'(x)=(x)'=12x,所以f'(1)=12×1=12,故应选D.
3.某物体作瞬时速度为1的匀速运动 由导数的物理意义可知:y'=1可以表示某物体作瞬时速度为1的匀速运动.
4.解:点P(2,16)在曲线上,k=f'(2)=32,
切线方程为y-16=32(x-2),即32x-y-48=0.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)①y'=(x12)'=12x11;
②y'=(1x4)'=(x-4)'=-4x-5=-4x5;
③y'=(5x3)'=(x35)'=35x-25=355x2.
(2)∵f(x)=10x,∴f'(x)=10xln 10,∴f'(1)=10ln 10.
【答案】(2)10ln 10
【小结】依据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式,熟记基本初等函数的求导公式可以快速解题.
探究二:【解析】y'=-12x-32,∴k=-12a-32,切线方程是y-a-12=-12a-32(x-a).
令x=0得y=32a-12,令y=0得x=3a,
∴三角形的面积是S=12×3a×32a-12=18,解得a=64.故选A.
【答案】A
【小结】利用导数求切线方程时,明确函数在x=x0的导数就是切线的斜率.
探究三:【解析】 f'(a)=[f(a)]'
=f'(x) x=a=cosx x=a=cosa.
[问题]f'(a)与[f(a)]'的含义相同吗?
[结论] f'(a)与[f(a)]'的含义不同.上面的解法是将f'(a)与[f(a)]'混为一谈.
于是,正确解答为:
由于f'(x)=(sin x)'=cos x,而f'(a)表示导数f'(x)在x=a处的值,故f'(a)=cos a;[f(a)]'表示函数f(x)在x=a时的函数值f(a)=sin a(常数)的导数,因此[f(a)]'=0.
【小结】学好数学只需要六个字:“理解、记忆、运算”,熟记基本初等函数的求导公式是正确解题的前提.
思维拓展应用
应用一:(1)y'=(x13)'=13x13-1=13x12.
(2)y'=(1x3)'=(x-3)'=-3x-3-1=-3x-4.
(3)y'=(4x)'=(x14)'=14x14-1=14x-34.
(4)y'=(log3x)'=1x·log3e=1xln3.
(5)y'=(sin x)'=cos x.
(6)y'=(15x2)=(x-25)'=-25x-25-1=-25x-75.
应用二:由于xy=a2,
所以y=a2x,所以y'=(a2x)'=-a2x2,
函数y=a2x在图像上的任一点(x0,y0)处的切线斜率k=-a2x02,y0=a2x0,
所以切线方程是y-y0=k(x-x0),
即y-a2x0=-a2x02(x-x0),
令x=0,得y=2a2x0,
令y=0,得x=2x0,
所以S=12|x|·|y|=12|2a2x0|·|2x0|=2a2,为常数.
即在双曲线xy=a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.
应用三:(1)D (2)-2 (1)由于f(2)是常数,所以[f(2)]'=0.留意区分[f(2)]'与f'(2).
(2)由题意,得f'(x)=2x+3f'(2),
∴f'(2)=2×2+3f'(2),∴f'(2)=-2.
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1.A f'(x)=α·xα-1,∴f'(-1)=α·(-1)α-1=-2,代入验证得α=2.
2.C 设点P的坐标为(x0,y0),
∵y=x2,∴y'=2x.∴k=y'|x=x0=2x0=2,
∴x0=1,∴y0=x02=1,即P(1,1),故应选C.
3.38 ∵y=x34,∴y'=34x-14,∴y'|x=16=38.
4.解:(1)∵y=log4x3-log4x2=log4x,
∴y'=(log4x)'=1xln4.
(2)∵y=2x2+1x-2x=2x2+1-2x2x=1x,
∴y'=(1x)'=-1x2.
(3)∵y=-2sinx2(2sin2x4-1)=2sinx2(1-2sin2x4)
=2sinx2cosx2=sin x,
∴y'=(sin x)'=cos x.
全新视角拓展
C 可确定点P,Q的坐标为P(4,8),Q(-2,2),又由于y'=x,所以过点P,Q的切线的斜率分别为kP=4,kQ=-2,所以两条切线方程分别为y=4x-8,y=-2x-2,联立方程可得A(1,-4),故点A的纵坐标为-4.
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