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时间：45分钟 分值：75分
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．
1．函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为( )
A．－2 B．－ C. D．2
解析 由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.故选B.
答案 B
2．已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)<0
C．f(x0)>0 D．f(x0)的符号不确定
解析 分别作出y＝2x与y＝logx的图象如图所示，当0<x0<a时，y＝2x的图象在y＝logx图象的下方，所以f(x0)<0.故选B.
答案 B
3．函数f(x)＝2x－x－的一个零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析 由f(0)＝20－0－<0，f(1)＝2－1－<0，f(2)＝22－2－>0，依据函数零点性质知函数的一个零点在区间(1,2)内，故选B.
答案 B
4．(2021·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析 如图所示，过A作AM⊥BC于M，交DE于N；AM＝40.
由相像三角形得：＝＝＝＝.
解得AN＝x，MN＝40－x，则阴影部分的面积为S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，故选C
答案 C
5．(2022·湖北卷)函数f(x)＝xcosx2在区间上的零点个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 令f(x)＝xcosx2＝0可得，x＝0或cosx2＝0，故x＝0或x2＝kπ＋，k∈Z.
又x∈，则x2∈，则k＝0,1,2,3,4符合题意，故在区间上的零点个数为6.
答案 C
6．(2021·安徽卷)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 由f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0得，x＝x1或x＝x2，
即3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解．如图所示．
由图象可知f(x)＝x1有2个解，f(x)＝x2有1个解，
因此3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为3.
答案 A
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．
7．(2021·哈尔滨一模)现有含盐7%的食盐水200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是________．
解析 依据已知条件设y＝×100%，令5%<y<6%，即(200＋x)·5%<200×7%＋x·4%<(200＋x)·6%，解得100<x<400.
答案 (100,400)
8．若函数f(x)＝log2(x＋1)－1的零点是抛物线x＝ay2的焦点的横坐标，则a＝________.
解析 令f(x)＝log2(x＋1)－1＝0，得函数f(x)的零点为x＝1，于是抛物线x＝ay2的焦点的坐标是(1,0)，由于x＝ay2可化为y2＝x，所以解得a＝.
答案
9．已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________．
解析 g(x)的零点个数不为零，即f(x)图象与直线y＝a的交点个数不为零，画出f(x)的图象可知，a的最小值为1.
答案 1
三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．(本小题10分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，
令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
∴函数f(x)的零点为3和－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．
∴b2－4a(b－1)>0恒成立，
即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，
所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0，所以0<a<1.
因此实数a的取值范围是(0,1)．
11．(本小题10分)提高过江大桥的车辆通行力气可改善整个城市的交通状况．在一般状况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．争辩表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值． (精确到1辆/时)
解 (1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.
再由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤2＝，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间上取得最大值≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
12．(本小题10分)(2021·河南驻马店一模)已知函数f(x)＝在x＝0和x＝处存在极值．
(1)求实数a，b的值；
(2)当c＝e时，争辩关于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的实根个数．
解 (1)当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.
由于函数f(x)在x＝0和x＝处存在极值，
所以解得a＝1，b＝0.
(2)由方程f(x)＝kx，知kx＝0确定是方程的根，所以仅就x≠0时进行争辩：
方程等价于k＝
构造函数g(x)＝
对于x<1且x≠0部分，函数g(x)＝－x2＋x的图象是开口向下的抛物线的一部分，当x＝时取得最大值，其值域是(－∞，0)∪；
对于x≥1部分，函数g (x)＝，由g′(x)＝>0，知函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
综上所述：①当k>或k<0时，方程f (x)＝kx有一个实根；
②当k＝，0时，方程f(x)＝kx有两个实根；
③当0<k<时，方程f(x)＝kx有三个实根．
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