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A组 考点基础演练
一、选择题
1．化简 (a>0，b>0)的结果是( )
A．a B．ab
C．a2b D.
解析：原式＝＝.
答案：D
2．在同始终角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝x－1的图象关于( )
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
解析：∵g(x)＝21－x＝f(－x)，∴f(x)与g(x)的图象关于y轴对称．
答案：A
3．函数f(x)＝e2x＋1的大致图象为( )
解析：f(x)＝e2x＋1＝(e2)x＋1，∵e2>1，∴f(x)为增函数，故排解A，D，
又∵e2x＋1>1，∴排解B.
答案：C
4．(2021年荆州模拟)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( )
A．f<f<f
B．f<f<f
C．f<f<f
D．f<f<f
解析：由题设知，当x≥1时，f(x)＝3x－1单调递增，因其图象关于直线x＝1对称，∴当x≤1时，f(x)单调递减．∴f＝f＝f，∴f<f<f，即f<f<f.
答案：B
5．当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
A．(1，) B.
C.∪(1，) D．(0,1)∪(1，)
解析：当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0且a≠1)，当a>1时，y＝ax是一个增函数，则有a2<2，可得－<a<，
故有1<a<；
当0<a<1时，y＝ax是一个减函数，则有a－2<2，可得a>或a<－(舍)，
故有<a<1.
综上可得，a∈∪(1，)．
答案：C
二、填空题
6．函数y＝ax－2＋1(a>0，a≠1)图象恒过定点________．
解析：当x＝2时，ax－2＋1＝2，∴函数过点(2,2)．
答案：(2,2)
7．已知函数f(x)＝ln的定义域是(1，＋∞)，则实数a的值为________．
解析：由题意得，不等式1－>0的解集是(1，＋∞)，由1－>0，可得2x>a，
故x>log2a，由log2a＝1得a＝2.
答案：2
8．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)且f(1)＝9，则f(x)的单调递减区间是________．
解析：由f(1)＝9得a2＝9，∴a＝3.
因此f(x)＝3|2x－4|，
又∵g(x)＝|2x－4|的递减区间是(－∞，2]，
∴f(x)的单调递减区间是(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
三、解答题
9．(2021年日照校际联考)已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，都有f(x)>2－x成立，求实数k的取值范围．
解析：(1)由于f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，x∈R，即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，所以(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0对一切x∈R恒成立，所以k＝－1.
(2)由于x∈[0，＋∞)，均有f(x)>2－x，即2x＋k·2－x>2－x成立，所以1－k<22x对x≥0恒成立，所以1－k<(22x)min，由于y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，所以(22x)min＝1，所以k>0.
10．设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
解析：令t＝ax(a>0且a≠1)，
则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t>0)．
①当0<a<1时，x∈[－1,1]，
t＝ax∈，
此时f(t)在上为增函数．
所以f(t)max＝f＝2－2＝14.所以2＝16，
所以a＝－或a＝.
又由于a>0，所以a＝.
②当a>1时，x∈[－1,1]，
t＝ax∈，
此时f(t)在上是增函数．
所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3(a＝－5舍去)．
综上得a＝或3.
B组 高考题型专练
1．(2022年济宁三模)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，确定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
解析：作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
∵a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.
∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2，故选D.
答案：D
2．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,1) B．(－4,3)
C．(－1,2) D．(－3,4)
解析：原不等式变形为m2－m<x，
∵函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，
∴x≥－1＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m<x恒成立
等价于m2－m<2，解得－1<m<2.
答案：C
3．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
解析：当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
答案：0
4．已知函数f(x)＝，
设a>b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________．
解析：画出函数图象如图所示，由图象可知要使a>b≥0，f(a)＝f(b)同时成立，≤b<1，bf(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)＝b2＋b＝2－，
所以≤b·f(a)<2.
答案：
5．已知函数f1(x)＝e|x－a|，f2(x)＝ebx.
(1)若f(x)＝f1(x)＋f2(x)－bf2(－x)，是否存在a，b∈R，y＝f(x)为偶函数．假如存在，请举例并证明你的结论；假如不存在，请说明理由；
(2)若a＝2，b＝1，求函数g(x)＝f1(x)＋f2(x)在R上的单调区间．
解析：(1)存在a＝0，b＝－1使y＝f(x)为偶函数．
证明如下：当a＝0，b＝－1时，f(x)＝e|x|＋e－x＋ex，x∈R，
∴f(－x)＝e|－x|＋ex＋e－x＝f(x)，
∴y＝f(x)为偶函数．
(注：a＝0，b＝0也可以)
(2)∵g(x)＝e|x－2|＋ex
＝
①当x≥2时，g(x)＝ex－2＋ex，
∴g ′(x)＝ex－2＋ex>0，
∴y＝g(x)在[2，＋∞)上为增函数．
②当x<2时，g(x)＝e2－x＋ex，
则g ′(x)＝－e2－x＋ex，令g ′(x)＝0得到x＝1，
(i)当x<1时，g ′(x)<0，∴y＝g(x)在(－∞，1)上为减函数；
(ii)当1≤x<2时，g ′(x)>0，∴y＝g(x)在[1,2)上为增函数．
综上所述：y＝g(x)的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1)．
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