资源描述
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b) ( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
解析 由<1，得>1，∴点P在圆外．
答案 B
2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为 ( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
解析 易知圆心C坐标为(2,0)，则kCP＝＝－，
所以所求切线的斜率为.故切线方程为
y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.
答案 D
3．(2021·甘肃诊断考试)已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，则两圆的位置关系是 ( )
A．内含 B．内切
C．相交 D．外切
解析 由O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4得圆心坐标为(a，b)，半径为2；由O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1得圆心坐标为(a＋1，b＋2)，半径为1，所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|＝＝，由于|2－1|＝1＜＜2＋1＝3，所以两圆相交，故选C.
答案 C
4．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
解析 如图所示：由题意知：AB⊥PC，kPC＝，∴kAB＝－2，∴直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
答案 A
5．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为 ( )
A．k＝，b＝－4 B．k＝－，b＝4
C．k＝，b＝4 D．k＝－，b＝－4
解析 由于直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝，b＝－4.
答案 A
二、填空题
6．(2021·青岛质量检测)直线y＝2x＋1被圆x2＋y2＝1截得的弦长为________．
解析 圆x2＋y2＝1的圆心O(0,0)，半径r＝1.圆心O到直线y＝2x＋1的距离为d＝＝，故弦长为2＝2＝.
答案
7．(2022·武汉调研)过点P(1,1)的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．
解析 当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，
所以直线OP垂直于x＋y－2＝0.
答案 x＋y－2＝0
8．(2022·重庆卷)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
解析 由x2＋y2＋2x－4y－4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，
∴圆C的圆心坐标为(－1,2)，半径为3.
由AC⊥BC，知△ABC为等腰直角三角形，
所以C到直线AB的距离d＝，即＝，所以|a－3|＝3，即a＝0或a＝6.
答案 0或6
三、解答题
9．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．
解 如图所示，AB＝4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝2，圆x2＋y2＋4x－12y＋24＝0可化为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，圆心C(－2,6)，半径r＝4，故AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2.
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0，
由点C到直线AB的距离公式，得＝2，
解得k＝.
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0；
当直线l的斜率不存在时，方程为x＝0，
则y2－12y＋24＝0，∴y1＝6＋2，y2＝6－2，
∴|y2－y1|＝4，故x＝0满足题意；
∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.
10．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．
法一 (1)证明 由
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，
由于Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解 设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝|x1－x2|
＝2＝2 ，
令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，
当t＝0时，k＝－，当t≠0时，由于k∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2.
法二 (1)证明 圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝，圆C的半径R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中，
Δ＝(－4)2－4×11×8<0，
故11k2－4k＋8>0对k∈R恒成立，
所以R2－d2>0，即d<R，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解 由平面几何学问，
知|AB|＝2＝2 ，下同法一．
法三 (1)证明 由于不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝<2＝R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解 由平面几何学问知过圆内定点P(0,1)的弦，只有和PC (C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝2＝2，
即直线l被圆C截得的最短弦长为2.
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为 ( )
A. B．
C． D．2
解析 由两圆相外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，即(a＋b)2＝9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤，即ab的最大值是(当且仅当a＝b时取等号)，故选C.
答案 C
12．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 由于圆心到直线的距离为＝2，
又由于圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，
圆上到直线的距离为1的点有3个．
答案 C
13．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是________________．
解析 圆C1的圆心为(1，－5)，半径为，圆C2的圆心为(－1，－1)，半径为，则两圆心连线的直线方程为2x＋y＋3＝0，由两圆方程作差得公共弦方程为x－2y＋4＝0，两直线的交点(－2,1)即为所求圆的圆心，由垂径定理可以求得半径为，即所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
答案 (x＋2)2＋(y－1)2＝5
14．(2022·新课标全国Ⅰ卷)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．
由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即
(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
由于ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为x＋3y－8＝0.又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，所以|PM|＝，S△POM＝××＝，故△POM的面积为.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
