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双基限时练(十五) 待定系数法
基 础 强 化
1．已知某一次函数过点(3,2)，且在x轴、y轴上的截距相等，则这个一次函数的解析式为( )
A．y＝x
B．y＝－x＋5
C．y＝x，或y＝－x＋5
D．y＝－x，或y＝x－5
解析 设一次函数的解析式为y＝kx＋b，
由题意可知∴或
∴该一次函数的解析式为y＝x，或y＝－x＋5.
答案 C
2．若函数f(x)＝(x≠)在定义域内恒有f＝x，则m的值为( )
A．3 B.
C．－ D．－3
解析 f＝＝.
即＝x恒成立．
∴4m－12＝0，∴m＝3.
答案 A
3．设函数f(x)＝若f(－1)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 由f(－1)＝f(0)，f(－2)＝－2，
可得解得
∴f(x)＝
令f(x)＝x，得x＝2或x＝－2.
答案 B
4．若二次函数y＝2x2－2mx＋2m2－2的图象的顶点在y轴上，则m的值是( )
A．0 B．±1
C．±2 D．±
解析 由题意可知，二次函数的对称轴为y轴，∴＝0，∴m＝0.
答案 A
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过P(3,0)，则a－b＋c的值为( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
解析 ∵抛物线的对称轴为x＝1，且它经过P(3,0)，
∴抛物线也经过(－1,0)，
∴a－b＋c＝0.
答案 A
6．已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象外形一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )
A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3
解析 设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.
答案 D
7．已知函数f(x)＝ax2＋2x－3的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为________．
解析 当a＝0时，f(x)＝2x－3，满足图象与x轴有一个交点；
当a≠0时，Δ＝4＋12a＝0，∴a＝－.
综上所述，a＝0，或a＝－.
答案 0或－
8．若一次函数y＝f(x)在区间上的最小值为1，最大值为3，则f(x)的解析式为________．
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)．
当k>0时， 解得
当k<0时，解得
∴f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋.
答案 f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋
能 力 提 升
9．已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，则这个二次函数的解析式为______________________．
解析 由题意，知抛物线的对称轴为x＝4，抛物线与x轴的两交点的坐标是(1,0)与(7,0)，如图所示．
设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由条件可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)和(7,0)，将三个点的坐标代入，得解得
∴所求二次函数的解析式为y＝x2－x＋.
答案 y＝x2－x＋
10.
已知y＝f(x)的图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数的值域．
解 由图象可知①：当0≤x≤2时，f(x)是一次函数．
设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则即
故f(x)＝－2x＋2.
②当2<x<3时，f(x)＝－2.
③当3≤x≤5时，f(x)是一次函数．
设f(x)＝mx＋n(m≠0)，
则
解得此时f(x)＝x－5.
综上可知，f(x)的解析式为
f(x)＝
由图可知该函数的值域为．
11．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(－1，－5)，且与正比例函数y＝x的图象相交于点(2，a)．
(1)求a的值；
(2)求一次函数的解析式．
解 (1)a＝×2＝1.
(2)∴∴y＝2x－3.
12．定义在上的奇函数f(x)，在上为一次函数，在上为二次函数，且x∈时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的解析式．
解 当x∈时，∵f(x)≤f(5)＝3，
∴可设f(x)＝a(x－5)2＋3.
∵f(6)＝2，∴f(6)＝a(6－5)2＋3＝2，解得a＝－1.
∴f(x)＝－(x－5)2＋3，x∈，
即f(x)＝－x2＋10x－22，x∈．
∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1.
即x∈ 和x∈时，f(x)均过点(3，－1)．
∵x∈时，f(x)为一次函数，
∴可设f(x)＝kx＋b.
∵f(x)在x∈上是奇函数，
∴f(0)＝0，∴b＝0，即f(x)＝kx，
将点(3，－1)代入，得－1＝3k，∴k＝－，
∴f(x)＝－x，x∈，
∴f(x)＝
又∵f(x)为奇函数，
∴x∈时，f(x)＝－f(－x)＝－x；
x∈时，
f(x)＝－f(－x)＝(－x－5)2－3＝(x＋5)2－3.
即f(x)＝x2＋10x＋22，x∈．
∴f(x)＝
品 味 高 考
13．已知一个二次函数y＝f(x)，f(0)＝3，又知当x＝－3或x＝－5时，这个函数的值都为0，求其解析式．
解 设y＝f(x)＝a(x＋3)(x＋5)(a≠0)，
由f(0)＝3，得
3＝a(0＋3)(0＋5)，
∴a＝.
∴y＝(x＋3)(x＋5)＝x2＋x＋3.
∴f(x)＝x2＋x＋3.
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