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第三章 三角函数
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
[考情展望] 1.利用三角函数的定义求三角函数值.2.考查三角函数值符号的确定．
一、角的有关概念
1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．
2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．
3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α(k∈Z)．
二、弧度与角度的互化
1．1弧度的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
2．角α的弧度数
假如半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝.
3．角度与弧度的换算①1°＝rad；②1 rad＝°.
4．弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α.
角度制与弧度制不行混用
角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，接受的度量制度必需全都，不行混用．
三、任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．
三角函数值符号记忆口诀
记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)．即第一象限全为正，其次象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
1．给出下列四个命题：
①－是其次象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有
( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】 C
2．已知角α的终边过点P(－1,2)，则sin α＝( )
A. B.
C．－ D.－
【答案】 B
3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )
A．第一象限角 B.其次象限角
C．第三象限角 D.第四象限角
【答案】 C
4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．
【答案】 4 6π
5．(2022·江西高考)下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为( )
A．y＝ B.y＝
C．y＝xex D.y＝
【答案】 D
6．(2022·大纲全国卷)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( )
A. B.
C．－ D.－
【答案】 D
考向一 [047] 角的集合表示及象限角的判定
(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合；
(2)已知α是第三象限角，求所在的象限．
【尝试解答】 (1)当角的终边在第一象限时，角的集合为，当角的终边在第三象限时，角的集合为，故所求角的集合为
∪
＝.
(2)∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋＜＜kπ＋π(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋π，是其次象限角，
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋π，是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，是其次或第四象限角．,
规律方法1 1.若要确定一个确定值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α＜2π)(k∈Z)的形式，然后再依据α所在的象限予以推断．
2．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的全部角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
对点训练 若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )
A．第一或第三象限 B．第一或其次象限
C．其次或第四象限 D.第三或第四象限
【答案】 A
考向二 [048] 扇形的弧长及面积公式
已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
【尝试解答】 (1)l＝10×＝(cm)．
(2)由已知得：l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2 rad.
(3)设弓形面积为S弓．由题知l＝cm，
S弓＝S扇－S△＝××2－×22×sin ＝(cm2)．
规律方法2 1.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要留意角的单位必需是弧度．
2．本题把求扇形面积最大值的问题，转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，这是解决此类问题的常用方法．
3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要留意合理地利用圆心角所在的三角形．
对点训练 已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
【解】 (1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10，
∴△AOB为等边三角形．因此弦AB所对的圆心角α＝.
(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得
l＝α·R＝×10＝π，S扇形＝R·l＝α·R2＝.
又S△AOB＝·OA·OB·sin ＝25.
∴弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝50.
考向三 [049] 三角函数的定义
(1)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－，则m等于( )
A．－ B. C．－4 D．4
【答案】 C
(2)已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
【尝试解答】 在直线3x＋4y＝0上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则x＝4t，y＝－3t，
∴r＝|PO|＝＝＝5|t|，
当t＞0时，r＝5t，
sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，
tan α＝＝＝－；
当t＜0时，r＝－5t，sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.
综上可知，当t＞0时，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
当t＜0时，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.,
规律方法3 定义法求三角函数值的两种状况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．
对点训练 设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，)，且cos α＝x，求4sin α－3tan α的值．
【解】 ∵r＝，∴cos α＝，
从而x＝，
解得x＝0或x＝±.
∵90°＜α＜180°，
∴x＜0，因此x＝－.则r＝2，
∴sin α＝＝，tan α＝＝－.
故4sin α－3tan α＝＋.
易错易误之六 |a|≠a——三角函数定义求值中引发的分类争辩
———————— [1个示范例] ———————
已知角θ的终边上一点p(3a,4a)(a≠0)，则sin θ＝________.
【解析】 ∵x＝3a，y＝4a
∴r＝＝5|a|
此处在求解时，常犯r＝5a的错误，出错的缘由在于去确定值时，没有对a进行争辩．
(1)当a＞0时，r＝5a，
∴sin θ＝＝.
(2)当a＜0时，r＝－5a，
∴sin θ＝＝－
∴sin θ＝±.
【防范措施】 1.对于＝|a|，在去掉确定值号后，应分a≥0和a＜0两种状况争辩．
2．已知角α终边上任意一点p(x，y)，求三角函数值时，应用sin α＝，cos α＝，tan α＝求解．
————————— [1个防错练] ———————
已知角α的终边落在直线y＝2x上，则sin α＋cos α＝________.
【解析】 在角α的终边上任取一点P(t,2t)(t≠0)，则
r＝|OP|＝＝|t|
(1)若t＞0，则sin α＝＝，cos α＝＝，
sin α＋cos α＝.
(2)若t＜0，则sin α＝－＝－，
cos α＝－＝－，sin α＋cos α＝－.
综上所述，sin α＋cos α＝±.
【答案】 ±
课时限时检测(十七) 任意角、弧度制及任意角的三角函数
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．如图3－1－1，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( )
图3－1－1
A．(cos θ，sin θ)
B．(－cos θ，sin θ)
C．(sin θ，cos θ)
D．(－sin θ，cos θ)
【答案】 A
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin 2
C. D.2sin 1
【答案】 C
3．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )
A．重合 B.关于原点对称
C．关于x轴对称 D.关于y轴对称
【答案】 C
4．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B.其次象限
C．第三象限 D.第四象限
【答案】 B
5．已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
6．已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)( )
A．大于0 B.大于等于0
C．小于0 D.小于等于0
【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若角120°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是______．
【答案】 4
8．已知角α的终边落在直线y＝－3x(x＜0)上，则－＝________.
【答案】 2
9．点P从(1,0)动身，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．
【答案】
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ的值．
【解】 ∵θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，
∴tan θ＝－，又tan θ＝－x，
∴x2＝1，∴x＝±1.
当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝，
因此sin θ＋cos θ＝0；
当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－，
因此sin θ＋cos θ＝－.
11．(12分)已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
【解】 设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得
解得或
∴α＝＝或α＝＝6.
(2)∵2r＋l＝8，
∴S扇＝lr＝l·2r≤2＝×2＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴r＝2，∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
12．(13分)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．
【解】 由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，
点Q的坐标为(2a，a)．
所以，sin α＝＝－，
cos α＝＝，
tan α＝＝－2，
sin β＝＝，
cos β＝＝，
tan β＝＝，
故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β
＝·＋·＋(－2)×＝－1.
其次节 同角三角函数的基本关系及诱导公式
[考情展望] 1.利用同角三角函数的基本关系求三角函数值.2.借助诱导公式化简三角函数式，进而求三角函数值．
一、同角三角函数的基本关系
1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
2．商数关系：tan α＝(α≠＋kπ，k∈Z)．
二、六组诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α
诱导公式记忆口诀
对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
1．已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin α＝( )
A．－ B. C. D．±
【答案】 A
2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于
( )
A．－ B.－
C. D．
【答案】 D
3．sin 585°的值为( )
A．－ B.
C．－ D．
【答案】 A
4．若cos α＝－且α∈，则tan α＝( )
A. B.
C．－ D.－
【答案】 B
5．(2022·大纲全国卷)设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( )
A．a>b>c B.b>c>a
C．c>b>a D.c>a>b
【答案】 C
6．(2021·广东高考)已知sin＝，那么cos α＝( )
A．－ B.－
C. D．
【答案】 C
考向一 [050] 同角三角函数关系式的应用
(1)已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是( )
A. B．－ C．－2 D．2
(2)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________.
【答案】 (1)A (2)－,
规律方法1 1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2．留意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
对点训练 (1)若tan α＝2，则的值为( )
A．0 B. C．1 D.
(2)若α∈，且sin α＝，则tan α＝________.
【答案】 (1)B (2)－
考向二 [051] 诱导公式的应用
(1)sin 600°＋tan 240°的值等于( )
A．－ B. C.－ D.＋
(2)若sin＝，则cos等于( )
A．－ B.－
C. D．
(3)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则＝( )
A．－2 B.2
C．0 D．
【答案】 (1)B (2)C (3)B,
规律方法2 1.利用诱导公式应留意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．
2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．
考向三 [052] sin α±cos α与sin α·cos α的关系
已知－π＜x＜0，sin x＋cos x＝.
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值．
【尝试解答】 (1)法一：由sin x＋cos x＝，平方得
sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.
又∵－π＜x＜0，
∴sin x＜0，又sin x＋cos x＞0，
∴cos x＞0，sin x－cos x＜0，
故sin x－cos x＝－.
法二：由法一可知sin xcos x＝－＜0，
又－π＜x＜0，
所以sin x＜0，cos x＞0，
联立
得
所以sin x－cos x＝－－＝－.
(2)＝
＝
＝
＝－.
规律方法3 1.第(1)问应留意x的范围对sin x－cos x的符号的影响．事实上依据条件可进一步判定x∈.
2．对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求，转化公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，体现了方程思想的应用．
对点训练 已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则tan θ的值为( )
A．－或－ B．－ C．－ D．－
【答案】 C
易错易误之七 拨云见日——三角函数式中“角范围”的信息提取
—————————— [1个示范例] ——————
已知α为其次象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝( )
A．－ B．－ C. D.
【解析】 ∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，
∴2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－.
又∵α为其次象限角且sin α＋cos α＝>0，
此处在求解中，分析不出“sin α＋cos α＝＞0”这个隐含信息，导致后面的“α”范围无法确定，进而影响后面的解答．
∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，
∴4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)，
∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－＝－.
【防范措施】 (1)由sin α＋cos α＝，隐含着sin α＋cos α＞0，即sin α＞－cos α，结合α为其次象限角可进一步约束角α的范围．
(2)利用平方关系求三角函数值，开方时应留意三角函数值符号的推断．
————————— [1个防错练] ———————
若sin θ，cos θ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，则cos 2θ的值为________．
【解析】 由题意可知，sin θ＋cos θ＝，
∴(sin θ＋cos θ)2＝，∴sin 2θ＝－.
即2sin θcos θ＝－＜0，则sin θ与cos θ异号，
又sin θ＋cos θ＝＞0，∵＜θ＜.
∴π＜2θ＜，故cos 2θ＝－＝－.
【答案】 －
课时限时检测(十八) 同角三角函数的基本关系及诱导公式
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2021·大纲全国卷)已知α是其次象限角，sin α＝，则cos α＝( )
A．－ B．－ C. D.
【答案】 A
2．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋的值是( )
A．－2 B.2
C．±2 D．
【答案】 B
3．已知sin(3π－α)＝－2sin，则sin αcos α等于( )
A．－ B.
C.或－ D.－
【答案】 A
4．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝( )
A. B.－
C. D.－
【答案】 B
5．已知sin(π－2)＝a，则sin的值为( )
A．－ B.－a
C. D.a
【答案】 A
6．若sin α是5x2－7x－6＝0的根，
则＝( )
A. B.
C. D．
【答案】 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ＝________.
【答案】 －
8．已知tan α＝2，则7sin2α＋3cos2α＝________.
【答案】
9．已知sin＝，则sin＋cos2＝
________.
【答案】
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知函数f(x)＝
.
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)设tan α＝－，求f(α)的值．
【解】 (1)由cos x≠0，得x≠＋kπ，k∈Z，
所以函数的定义域是.
(2)∵tan α＝－，
∴f(α)＝
＝
＝＝－1－tan α＝.
11．(12分)已知tan＝a.
求证：＝.
【证明】 由已知得
左边＝
＝
＝
＝＝右边，
所以原等式成立．
12．(13分)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
【解】 由已知得
①2＋②2得2cos2A＝1，
即cos A＝或cos A＝－.
(1)当cos A＝时，cos B＝，
又A、B是三角形的内角，
∴A＝，B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝π.
(2)当cos A＝－时，cos B＝－.
又A、B是三角形的内角，
∴A＝π，B＝π，不合题意．
综上知，A＝，B＝，C＝π.
第三节 三角函数的图象与性质
[考情展望] 1.考查三角函数图象的识别.2.考查三角函数的有关性质(单调性、奇偶性、周期性和对称性).3.考查三角函数的值域(最值)．
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
x∈R
x∈R
x∈R且x≠＋kπ，k∈Z
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
递增区间是[2kπ－，2kπ＋] (k∈Z)，递减区间是[2kπ＋，2kπ＋] (k∈Z)
递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，
递减区间是
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
递增区间是[kπ－，kπ＋] (k∈Z)
最值
ymax＝1；
ymin＝－1
ymax＝1；
ymin＝－1
无最大值和最小值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
，k∈Z
对称轴
x＝kπ＋，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
无对称轴
最小正周期
2π
2π
π
三角函数奇偶性的推断技巧
1．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
2．若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
1．函数y＝tan 3x的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
2．函数f(x)＝2cos是( )
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为2π的非奇非偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
【答案】 A
3．函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－
【答案】 C
4．比较大小：sin________sin.
【答案】 ＞
5．(2021·天津高考)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B.－
C. D.0
【答案】 B
6．(2022·陕西高考)函数f(x)＝cos的最小正周期是
( )
A. B.π
C．2π D.4π
【答案】 B
考向一 [053] 三角函数的定义域和值域
(1)函数y＝的定义域为________．
(2)求下列函数的值域：
①y＝2cos2 x＋2cos x；
②y＝3cos x－sin x，x∈[0，π]；
③y＝sin x＋cos x＋sin xcos x.
【尝试解答】 (1)
(2)①y＝2cos2x＋2cos x＝22－.
当且仅当cos x＝1时，得ymax＝4，
当且仅当cos x＝－时，得ymin＝－，
故函数值域为.
②y＝3cos x－sin x＝2
＝2cos.
∵x∈[0，π]，∴≤x＋≤，
∴－1≤cos≤，
∴－2≤2cos≤3.
∴y＝3cos x－sin x的值域为[－2，3]．
③法一：y＝sin xcos x＋sin x＋cos x
＝＋sin
＝sin2＋sin－
＝2－1，
所以当sin＝1时，y取最大值1＋－＝＋.
当sin＝－时，y取最小值－1，
∴该函数值域为.
法二：设t＝sin x＋cos x，
则sin xcos x＝(－≤t≤)，
y＝t＋t2－＝(t＋1)2－1，
当t＝时，y取最大值为＋，
当t＝－1时，y取最小值为－1.
∴函数值域为.,
规律方法1 1.求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域(最值)的常见类型及方法：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
对点训练 (1)函数y＝lg sin x＋的定义域是________．
(2)(2022·大纲全国卷)函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________．
【答案】 (1) (2)
考向二 [054] 三角函数的单调性
求下列函数的单调区间．
(1)y＝sin；(2)y＝|tan x|.
【尝试解答】 (1)y＝－sin，
它的增区间是y＝sin的减区间，
它的减区间是y＝sin的增区间．
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋，k∈Z，
得－≤x≤＋，k∈Z.
由2kπ＋≤3x－≤2kπ＋，k∈Z.
得＋≤x≤＋π，k∈Z.
故所给函数的减区间为，k∈Z；
增区间为，k∈Z.
(2)观看图象可知，y＝|tan x|的增区间是，k∈Z，减区间是，k∈Z.
规律方法2 1.求含有确定值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但假如ω＜0，那么确定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
对点训练 已知函数y＝sin，求：
(1)函数的周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
【解】 由y＝sin可化为y＝－sin.
(1)周期T＝＝＝π.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以x∈R时，y＝sin的减区间为，
k∈Z.
取k＝－1,0可得函数在[－π，0]上的单调递减区间为和.
考向三 [055] 三角函数的奇偶性、周期性和对称性
(1)已知函数f(x)＝sin(πx－)－1，则下列说法正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
(2)已知f(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )
A. B. C．－ D．－
(3)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：
①它的最小正周期为π；
②它的图象关于直线x＝成轴对称图形；
③它的图象关于点成中心对称图形；
④在区间上是增函数．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．
【答案】 (1)B (2)D (3)①②⇒③④或①③⇒②④
规律方法3 1.推断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再依据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：(1)周期定义；(2)利用正(余)弦型函数周期公式；(3)借助函数的图象．
对点训练 (1)(2022·安徽高考改编)若将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得函数y＝f(x)的图象．若y＝f(x)是偶函数，则φ的最小值是________．
【答案】 π
(2)(2022·福建高考)已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.
①若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值；
②求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
【解】 f(x)＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋cos 2x
＝sin .
(1)由于0<α<，且sin α＝，所以α＝.
从而f(α)＝sin＝sin ＝.
(2)f(x)＝sin的最小正周期T＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
思想方法之九 争辩三角函数性质的一大“法宝”——整体思想
所谓整体思想就是争辩问题时从整体动身，对问题的整体形式、结构特征进行综合分析、整体处理的思想方法．
在三角函数学习中，运用“整体思想”可以解决以下几类问题
(1)三角函数的化简求值；
(2)争辩三角函数的有关性质(如定义域、值域、单调性等)；
(3)解三角不等式或求含参变量的取值范围问题．
—————————— [1个示范例] ————
已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. B. C. D．(0,2]
【解析】 由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，
由题意知⊆，
∴∴≤ω≤，故选A.
————————— [1个对点练] ———————
已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )
A.∪[6，＋∞)
B.∪
C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)
D．(－∞，－2]∪
【解析】 当ω＞0时，由－≤x≤得
－ω≤ωx≤ω，
由题意知，－ω≤－，
∴ω≥，
当ω＜0时，由－≤x≤得ω≤ωx≤－ω，
由题意知，ω≤－，
∴ω≤－2，
综上知ω∈(－∞，－2]∪.
【答案】 D
课时限时检测(十九)
三角函数的图象与性质
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数y＝tan的定义域是( )
A. B.
C. D．
【答案】 D
2．(2021·浙江高考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】 B
3．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )
A．[－1,1] B.
C. D．
【答案】 C
4．若函数f(x)＝sin(3x＋φ)，满足f(a＋x)＝f(a－x)，则f的值为( )
A. B．±1
C．0 D.
【答案】 C
5．已知函数f(x)＝sin x＋cos x，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B.c＜a＜b
C．b＜a＜c D.b＜c＜a
【答案】 B
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
【答案】 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(α)＝A，f(β)＝0，|α－β|的最小值为，则正数ω＝________.
【答案】
8．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．
【答案】
9．已知函数f(x)＝cos xsin x(x∈R)，给出下列四个命题：
①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；
②f(x)的最小正周期是2π；
③f(x)在区间上是增函数；
④f(x)的图象关于直线x＝对称．
其中真命题是________．
【答案】 ③④
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x，
(1)求f的值；
(2)若x∈，求f(x)的最大值及相应的x值．
【解】 (1)∵f(x)＝sin xcos x＋sin2x，
∴f＝sin cos ＋sin2＝2＋2＝1.
(2)f(x)＝sin xcos x＋sin2x＝sin 2x＋
＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin＋，
由x∈得2x－∈，
所以，当2x－＝，即x＝π时，f(x)取到最大值为.
11．(12分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
【解】 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
由于f(x)＝
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin－1，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sin x的单调递增区间为
(k∈Z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为和(k∈Z)．
12．(13分)设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域．
【解】 (1)由于f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ
＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin＋λ，
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得
sin＝±1.
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈，k∈Z，所以ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－.
故f(x)＝2sin－，函数f(x)的值域为[－2－，2－]．
第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用
[考情展望] 1.考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换.2.考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象画法或解析式的求法.3.以新问题新情景为切入点，考查三角函数模型的应用．
一、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0
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