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A组 考点基础演练
一、选择题
1．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，则|CM|等于( )
A. B.
C. D.
解析：设M(x，y，z)，则x＝＝2，y＝＝，z＝＝3，即M，|CM|＝ ＝.故选C.
答案：C
2．(2021年茂名调研)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A. B.
C. D.
解析：由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴∴
答案：D
3.如图所示，已知平行六面体OABC O1A1B1C1，点G是上底面O1A1B1C1的中心，且＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示向量为( )
A.(a＋b＋2c) B.(2a＋b＋c)
C.(a＋2b＋c) D.(a＋b＋c)
解析：＝＋＝＋(＋)＝a＋b＋c，故选A.
答案：A
4．(2021年东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为( )
A．± B.
C．－ D．±
解析：＋λ＝(1，－λ，λ)，
cos 120°＝＝－，得λ＝±.
经检验λ＝不合题意，舍去，∴λ＝－.
答案：C
5．设OABC是四周体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A. B.
C. D.
解析：如图所示，取BC的中点E，连接AE.
＝＝(＋)＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)
＝(＋＋)．
答案：A
二、填空题
6．(2021年南昌模拟)已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，用＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________.
解析：＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝(＋－2)＝(＋－)＝(b＋c－a)．
答案：(b＋c－a)
7．已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a相互垂直，则a与b的夹角为________．
解析：由于a与2b－a相互垂直，则a·(2b－a)＝0，即2a·b－|a|2＝0，所以2|a||b|cosa，b－|0|2＝0，则4cosa，b－4＝0，则cosa，b＝，所以a与b的夹角为45°.
答案：45°
8．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．
解析：设＝λ＝(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．
∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－.
∴当λ＝时，·取最小值为－.此时，＝，
即Q点的坐标是.
答案：
三、解答题
9．在长方体ABCD A1B1C1D1中，O为AC的中点．设E是棱DD1上的点，且＝，试用，，表示.
解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝－－.
10.如图，在直三棱柱ABC A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
B组 高考题型专练
1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b相互垂直，则k的值是( )
A．－1 B.
C. D.
解析：由于(ka＋b)·(2a－b)＝0，即2ka2－b2＋(2－k)a·b＝0，即4k－5＋(2－k)×(－1)＝0，解得k＝.故选D.
答案：D
2.如图所示，已知空间四边形OABC中，|OB|＝|OC|，且∠AOB＝∠AOC，则、夹角θ的余弦值为( )
A．0 B.
C. D.
解析：设＝a，＝b，＝c.由已知条件∠AOB＝∠AOC，且|b|＝|c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|cos∠AOC－|a||b|cos∠AOB＝0，得cos θ＝0.
答案：A
3．(2021年西安联考)已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝且λ>0，则λ＝________.
解析：λa＋b＝(4，－λ＋1，λ)，
所以|λa＋b|＝＝＝，化简整理得λ2－λ－6＝0，解得λ＝－2或λ＝3，
又λ>0，所以λ＝3.
答案：3
4．(2021年深圳联考)已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝________.
解析：依据共面对量定理设＝λ＋μ，
即(x－4，－2,0)＝λ(－2,2，－2)＋μ(－1,6，－8)，
由此得解得λ＝－4，μ＝1，
所以x＝4＋8－1＝11.
答案：11
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