资源描述
高三班级第五次月考
数学试卷（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至5页.考试时间120分钟，满分150分.
留意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷的答题卡上.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
3.请依据题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卷面清洁，不折叠，不破损.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，若为实数，则
A. B. C. D.
2.下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间内单调递增的是
A． B． C． D．
3.已知实数、满足，则的最大值为
A. B. C. D.
4.直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
5.已知，则
A. B. C. D.
6.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值分别为
A.5，1 B.5，2 C.15，3 D.30，6
7.将函数的图象向左平移个单位后的图象关于原点对称，则函数在上的最小值为
A. B. C. D.
8.在菱形中，对角线，为的中点，则
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 6 B. 5 C. 4 D. 5.5
10.某校高三理科试验班有5名同学报名参与甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有
A.144种 B.150种 C.196种 D.256种
11.设为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的最小值为
A. B. C. D.
12.设函数，其中，若关于不等式的整数解有且只有一个，则实数的取值范围为
A. B． C． D．
一、CDCAB DACBB DA
二、13. 14. 15. 16.4
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.请将答案填写在答题纸上.
13.在的开放式中含的项的系数是 ．
14.已知数列满足，，则的最小值为 ．
15.已知正方体的棱长为1，点是线段的中点，则三棱锥
外接球体积为 ．
16.是双曲线的右焦点，的右支上一点到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点满足，则 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在锐角中，角的对边分别为，已知依次成等差数列，且 求的取值范围.
17.解： 角成等差数列 ……………………………2分
依据正弦定理的
…………………………6分
又为锐角三角形，则 …………… ……8分
…………………………10分
18.（本小题满分12分）
已知数列的各项均是正数，其前项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
18.解：（1）由，得，解得…………2分
而，即
………………………………4分
可见数列是首项为2，公比为的等比数列.
； ……………………………… 6分
（2）
， ………………8分
故数列的前项和
………10分
……………………12分
19.（本小题满分12分）
某学校争辩性学习小组对该校高三同学视力状况进行调查，在高三的全体1000名同学中随机抽取了100名同学的体检表，并得到如图的频率分布直方图.
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估量全班级视力在5.0以下的人数；
（2）学习小组成员发觉，学习成果突出的同学，近视的比较多，为了争辩同学的视力与学习成果是否有关系，对班级名次在名和名的同学进行了调查，得到右表中数据，依据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成果有关系?
（3）在（2）中调查的100名同学中，依据分层抽样在不近视的同学中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在的同学人数为，求的分布列和数学期望.
附：
19. （1）设各组的频率为，
由图可知，第一组有3人，其次组7人，第三组27人， ……1分
由于后四组的频数成等差数列，
所以后四组频数依次为 ……………………………2分
所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，
故全班级视力在5.0以下的人数约为 …………………………3分
（2）
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成果有关系.……………6分
（Ⅲ）依题意9人中班级名次在名和名分别有3人和6人，
可取0、1、2、3 …………………7分
， ，
，
的分布列为
0
1
2
3
………………11分
的数学期望 ………………12分
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，，且，，点在上.
（1）求证：；
（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.
20.解：⑴取中点，连结,则，所以四边形为平行
四边形，故，又,所以,故
,又，,所以,故有
………………5分
⑵如图建立空间直角坐标系
则
设,易得
设平面的一个法向量为，则
令，
即 ………………8分
又平面的一个法向量为，
，解得，
即，，
而是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则.
故直线与平面所成的角的正弦值为 …………………12分
21.（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，且，推断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
（1）由题意知，∴，即
又， 2分
∴， 椭圆的方程为 4分
(2)设，由得 ，
，.
6分
,, ,，, 8分
10分
12分
22.（本小题满分12分）
已知函数，其中常数.
（1）争辩函数的单调性；
（2）已知，表示的导数，若，且满足，试比较与的大小，并加以证明.
22．解：（1）函数的定义域为，
由得，，……………2分
当时，，所以在上为增函数；……3分
当时， ，所以在，上为增函数；在上为减函数；………4分
当时， ，所以在，上为增函数；在上为减函数；…………5分
（2）令
则
，
在上为减函数，即在上为减函数
以题意，不妨设，又由于，………8分
所以，，所以，且，
由，得，
，
， ………10分
令，
则， ………11分
所以，在内为增函数，又由于
所以，，
即：
所以，. ……………12分
高三第五次月考
数学（理）答案
一、CDCAB DACBB DA
二、13. 14. 15. 16.4
三、17.解： 角成等差数列 ……………………………2分
依据正弦定理的
…………………………6分
又为锐角三角形，则 …………… ……8分
…………………………10分
18.解：（1）由，得，解得…………2分
而，即
………………………………4分
可见数列是首项为2，公比为的等比数列.
； ……………………………… 6分
（2）
， ………………8分
故数列的前项和
………10分
……………………12分
19. （1）设各组的频率为，
由图可知，第一组有3人，其次组7人，第三组27人， ……1分
由于后四组的频数成等差数列，
所以后四组频数依次为 ……………………………2分
所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，
故全班级视力在5.0以下的人数约为 …………………………3分
（2）
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成果有关系.……………6分
（Ⅲ）依题意9人中班级名次在名和名分别有3人和6人，
可取0、1、2、3 …………………7分
， ，
，
的分布列为
0
1
2[来
3
………………11分
的数学期望 ………………12分
20.解：⑴取中点，连结,则，所以四边形为平行
四边形，故，又,所以,故
,又，,所以,故有
………………5分
⑵如图建立空间直角坐标系
则
设,易得
设平面的一个法向量为，则
令，
即 ………………8分
又平面的一个法向量为，
，解得，
即，，
而是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则.
故直线与平面所成的角的正弦值为 …………………12分
21.【解析】
（1）由题意知，∴，即
又， 2分
∴， 椭圆的方程为 4分
(2)设，由得 ，
，.
6分
,, ,，, 8分
10分
12分
22．解：（1）函数的定义域为，
由得，，……………2分
当时，，所以在上为增函数；……3分
当时， ，所以在，上为增函数；在上为减函数；………4分
当时， ，所以在，上为增函数；在上为减函数；…………5分
（2）令
则
，
在上为减函数，即在上为减函数
以题意，不妨设，又由于，………8分
所以，，所以，且，
由，得，
，
， ………10分
令，
则， ………11分
所以，在内为增函数，又由于
所以，，
即：
所以，. ……………12分
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