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长安一中高三级第三次教学质量检测数学试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分,时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合，，若，则实数的全部可能取值的集合为 ( )
A． B． C． D．
2.若为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则且是的（ ）
A．充要条件 B.充分不必要条件 C．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.等差数列中，假如，，则前9项的和为( )
A．297 B. 144 C．99 D. 66
5.已知向量，且∥，则（ ）
A． B． C． D．
6.过的直线被圆截得的线段长为2时，直线的斜率为（ ）
A． B. C． D.
7.(理科) 已知满足不等式设，则的最大值与最小值的差为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
（文科）设、满足约束条件：，则的最大值是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
8. 函数与的图像交点的横坐标所在区间为（ ）
A. B. C. D.
9.若下框图所给的程序运行结果为，那么推断框中应填入的关于的条件是( )
A. B. C． D.
10．若时，函数取得最小值，则是（ ）
A．奇函数且图像关于点对称 B.偶函数且图像关于直线对称
C．奇函数且图像关于直线对称 D.偶函数且图像关于点对称
11.（理科）已知椭圆的焦点为、，在长轴上任取一点，过作垂直于的直线交椭圆于，则使得的点的概率为 （ ）
A． B． C． D．
（文科）如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机的撒2400颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为516颗，依据此试验数据可以估量出
椭圆的面积约为( )
A.17.84 B. 5.16 C. 18.84 D.6.16
12．已知函数，，则方程的解的个数不行能是（ ）
A．3个 B.4个 C.5个 D.6个
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题纸相应的位置.）
13．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__ ___．
14．已知面积和三边满足：，则面积的最大值为________．
15．已知分别是圆锥曲线和的离心率，设
，则的取值范围是 ．
16. 把正整数按确定的规章排成了如图所示的三角形数表．
设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数，如．则 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共70分）
17．（本小题满分12分）
已知是正项数列，，且点（）在函数的图像上.
（1）求数列的通项公式；
（2）若列数满足，，求证：.
18.（本题满分12分）
如图，设四棱锥的底面为菱形，且∠，，。
（1）求证：平面平面；
（理科）（2）求平面与平面所夹角的余弦值．
（文科）（2）设P为SD的中点,求三棱锥的体积．
19．（本题满分12分）
为选拔选手参与“中国汉字听写大会”，某中学进行了一次“汉字听写大赛”活动.为了了解本次竞赛同学的成果状况，从中抽取了部分同学的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计.依据，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．
5 1 2 3 4 5 6 7 8
6
7
8
9 3 4
（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；
（理科）（2）在选取的样本中，从竞赛成果在80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学参与“中国汉字听写大会”，设随机变量表示所抽取的3名同学中得分在内的同学人数，求随机变量的分布列及数学期望．
（文科）（2）在选取的样本中，从竞赛成果在80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参与“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名同学中至少有一人得分在内的概率．
20.（本题满分12分）
如图，椭圆：的右焦点为，右顶点、上顶点分别为点、，且.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若斜率为2的直线过点，且交椭圆于
、两点，.求直线的方程及椭圆的方程.
21．（本题满分12分）
已知函数，的图像在点处的切线为．（）.
（1）求函数的解析式；
（理科）（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.
（文科）（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. A 2.D 3．C 4．C 5.B 6．A 7. A 8. B 9．D 10． D 11．C 12．A
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．
13．； 14． ； 15．（-∞，0）； 16. 38 ；
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得，即，又，
所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列，故.…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，从而.
.………………………………………8分
由于
∴ .……………………………………………………………………12分
18.（本题满分12分）
（1）证明：连接，取的中点，连接、，，，，，又四棱锥的底面为菱形,且∠，是是等边三角形，，又，，，面
（理科）（2）由（Ⅰ）知，分别以为轴、轴、轴的正半轴建立建立空间直角坐标系。则面的一个法向量，，，，，设面的法向量，则，，令，则，由，设平面与平面所夹角的大小为，则
（文科）（Ⅱ）==-==
19．（本小题满分12分）
解：（1）由题意可知，样本容量，，
.………………………………4分
（理科）（2）由题意可知，分数在内的同学有5人，分数在内的同学有2人，共7人.抽取的3名同学中得分在的人数的可能取值为1，2，3，则
，，.
1
2
3
所以的分布列为
…………………………………………………………………………………………10分
所以.………………………………………………12分
（文科）（2）由题意可知，分数在内的同学有5人，记这5人分别为，，，，，分数在内的同学有2人，记这2人分别为，.
抽取的2名同学的全部状况有21种，分别为：
（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），
（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），
（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）.8分
其中2名同学的分数都不在内的状况有10种，分别为：
（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），
（，），（，），（，）.
∴ 所抽取的2名同学中至少有一人得分在内的概率.……12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）由已知，
即，，
，∴ .…………………………………………4分
（2）由（Ⅰ）知，∴ 椭圆：.
设，，
直线的方程为，即.
由，
即.
.，.……8分
∵ ，∴ ，
即，，.
从而，解得，
∴ 椭圆的方程为.…………………………………………………12分
21.（本题满分12分）
解：（1），.
由已知， .………………………4分
（理科）（2）对任意恒成立，
对任意恒成立，
对任意恒成立. ………………………………………6分
令，，易知在上单调递增，
又，，，
，
∴ 存在唯一的，使得，………………………………………8分
且当时，，时，.
即在单调递减，在上单调递增，
，又，即，.
∴ ，
∵ ，∴ .对任意恒成立，
，又，∴ .………………………………………12分
（文科）（2）对任意的恒成立对任意的恒成立，令，
∴ .
易证：当时，恒成立，………………………8分
令，得；，得.
∴ 的增区间为，减区间为..
∴ ，∴ 实数的取值范围为.………………12分
22．（本小题满分10分）
(1)证明：连结DE，交BC于点G.
由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.
而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.
又由于DB⊥BE，
所以DE为直径，∠DCE＝90°，
由勾股定理可得DB＝DC.
(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故DG是BC的中垂线，所以BG＝.
设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.
从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，
所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.
23．（本小题满分10分）
解：(1)将消去参数t，化为一般方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的一般方程为x2＋y2－2y＝0.
由解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.
24．（本小题满分10分）
解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.
所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)当x∈时，f(x)＝1＋a.
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈都成立．
故≥a－2，即.从而a的取值范围是.
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