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课时作业36 二元一次不等式(组)与简洁的线性规划
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．(2022·汕头模拟)二元一次不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的平面区域为( )
解析：(x－2y＋1)(x＋y－3)<0⇔或
画图易知，C正确．
答案：C
2．(2022·榆林质检)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．[7，＋∞)
C．[5,7) D．(－∞，5)∪[7，＋∞)
解析：画出可行域，知当直线y＝a在x－y＋5＝0与y轴的交点(0,5)和x－y＋5＝0与x＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a<7.
答案：C
3．(2022·辽宁)设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为( )
A．20 B．35
C．45 D．55
解析：依据线性约束条件画出可行域，如图
作出平行于2x＋3y＝0的直线
知过点A(5,15)时2x＋3y最大，最大值为2×5＋3×15＝55.
答案：D
4．(2022·洛阳一模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少要生产1吨，乙产品至少要生产2吨，消耗A原料不超过13吨，消耗B原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是( )
A．1吨 B．2吨
C．3吨 D.吨
解析：设该企业在这个生产周期内生产x吨甲产品，生产y吨乙产品，x、y满足的条件为所获得的利润z＝x＋3y，作出如图所示的可行域．
作直线l0：x＋3y＝0，平移直线l0，明显，当直线经过点A(1，)时所获利润最大，此时甲产品的产量为1吨．
答案：A
5．(2021·新课标Ⅱ理，9)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B.
C．1 D．2
解析：作出线性约束条件
的可行域．
由于y＝a(x－3)过定点(3,0)，故应如图所示，当过点C(1，－2a)时，z＝2x＋y有最小值，∴2×1－2a＝1，∴a＝.
答案：B
6．(2022·辽宁大连模拟，9)设z＝x＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．0
解析：由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出表示的区域，如图中阴影部分，平移直线y＝－x＋z，由图像可知当直线经过C时，直线的纵截距最大，此时z＝6，由解得所以k＝3，故B(－6，3)，则zmin＝－6＋3＝－3，选A.
答案：A
7．已知a，b是正数，且满足2<a＋2b<4，那么a2＋b2的取值范围是( )
A．(，) B．(，16)
C．(1,16) D．(，4)
解析：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，a2＋b2表示区域内的动点P(a，b)到原点距离的平方，由图像可知在D点时，a2＋b2最大，此时a2＋b2＝42＝16；原点到直线lBC：a＋2b－2＝0的距离|OF|最小，d＝＝，所以a2＋b2＝d2＝，又原不等式组表示的平面区域不包括边界，故a2＋b2的取值范围是<a2＋b2<16，选B.
答案：B
8．设x，y满足条件|x|＋|y－1|≤2，若目标函数z＝＋(其中b>a>0)的最大值为5，则8a＋b的最小值为( )
A．3 B．1
C．5 D．6
解析：先画出|x|＋|y|＝2的图像，再将其图像向上平移一个单位，得到图中阴影部分即为可行域．
∵参照线y＝－x且－<－1，
∴当其过点A(2,1)时，z取最大值，即＋＝5.
∴8a＋b＝(8a＋b)(＋)＝·(17＋＋)≥(17＋2)＝5(当且仅当a＝，b＝1时取等号)，故C正确．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．(2021·陕西理，13)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．
解析：作出曲线y＝|x－1|与y＝2所表示的平面区域，令2x－y＝z，即y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－1,2)时，z取到最小值，此时最小值为－4.
答案：－4
10．(2022·大纲全国)若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．
解析：利用约束条件作出可行域，如图阴影三角形部分，又目标函数y＝3x－z，所以可知当目标函数过点(0,1)时取最小值，即zmin＝－1.
答案：－1
11．(2021·浙江理，13)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
解析：可行域为z＝kx＋y得y＝z－kx，当z取最大值时，y取最大值，∴4＝12－4k，故k＝2.
答案：2
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．(2022·合肥模拟)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x、y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
解：(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．
所以，不等式组
表示的平面区域如图所示．
结合图中可行域得x∈[－，3]，
y∈[－3,8]．
(2)由图形及不等式组知
当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；
当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；
当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；
当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；
当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；
当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；
∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
13．(2022·黄山模拟)若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值．
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.
∴z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1<－<2，解得－4<a<2.
故所求a的取值范围是(－4,2)．
14．制订投资方案时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能毁灭的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．依据猜想，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人方案投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，
由题意知
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，此时z取得最大值，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
解方程组
得x＝4，y＝6.
此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
∴当x＝4，y＝6时z取得最大值．
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
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