2020年数学文(广西用)课时作业：第五章-第四节正、余弦定理及其应用.docx

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课时提升作业(二十七)
一、选择题
1.(2021·桂林模拟)在△ABC中,A=60°,AC=8,面积S=4,则AB=(　　)
(A)　　 (B)2　 　(C)2　 　(D)3
2.(2021·北海模拟)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若A=60°,
a=2,则△ABC面积的最大值为(　　)
(A)1 (B) (C)2 (D)
3.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的外形是(　　)
(A)钝角三角形 (B)直角三角形
(C)锐角三角形 (D)不能确定
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若C=120°,c=a,则(　　)
(A)a>b (B)a<b
(C)a=b (D)a与b的大小关系不能确定
5.若满足条件C=60°,AB=,BC=a的△ABC有两个,那么a的取值范围是(　　)
(A)(1,) (B)(,)
(C)(,2) (D)(1,2)
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=(　　)
(A)30°　　(B)60°　　(C)120°　　(D)150°
二、填空题
7.(2021·南宁模拟)在△ABC中,若A=120°,c=6,△ABC的面积为9,则a=　　　　.
8.锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=2A,则的取值范围是　　　　.
9.(2021·哈尔滨模拟)△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=,cosB=,b=3,则边c=　　　.
三、解答题
10.(2021·玉林模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=a·cosB.
(1)求角B的大小.
(2)若b=3,sinC=2sinA,分别求a和c的值.
11.(2021·桂林模拟)如图所示,港口A北偏东30°方向的点C处有一观测站,港口正东方向的B处有一轮船,测得BC为31海里.该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处,测得CD为21海里.问此时轮船距离港口A还有多少海里?

12.(力气挑战题)在△ABC中,A,B,C为三个内角,a,b,c为三条边,<C<且=.
(1)推断△ABC的外形.
(2)若|+|=2,求·的取值范围.

答案解析
1.【解析】选B.由于A=60°,AC=8,a,b,c分别为角A,B,C的对边,面积S=4=bcsinA,
∴bc=16,b=8,c=2.即AB=2.
2.【解析】选B.由余弦定理得b2+c2-2bccos60°=4,
∴b2+c2=4+bc.
∵b>0,c>0,
∴4+bc=b2+c2≥2bc,
∴bc≤4,
∴S=bcsin60°=bc≤×4=,故Smax=.
3.【思路点拨】利用正弦定理转化为边的关系,而后利用余弦定理推断.
【解析】选A.由sin2A+sin2B<sin2C得
a2+b2<c2,即a2+b2-c2<0.
又∵cosC=,故cosC<0.
又∵0<C<π,故<C<π,
∴△ABC是钝角三角形.
4.【解析】选A.∵C=120°,c=a,
∴2a2=a2+b2-2abcos120°,
∴a2=b2+ab,∴()2+-1=0,
∴=<1,∴a>b.
5.【解析】选C.由正弦定理得:
=,
∴a=2sinA.
∵C=60°,∴0°<A<120°.
又∵△ABC有两个,如图所示:
∴asin 60°<<a,
即<a<2.
6.【思路点拨】由题目中已知等式的形式,利用正、余弦定理求解.
【解析】选A.由=及sinC=2sinB,
得c=2b,
∴cosA===.
∵A为△ABC的内角,∴A=30°.
7.【解析】∵S△ABC=bcsinA,
∴9=×6×b,
∴b=6,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA
∴a2=62+62+2×6×6×,解得a2=108,
∴a==6.
答案:6
8.【解析】锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=2A,
∴0<2A<,且<3A<π.
∴<A<,∴<cosA<.
由正弦定理可得==2cosA,
∴<2cosA<,即<<.
答案:(,)
9.【解析】由cosA=,cosB=得sinA=,sinB=,故sinC=sin(A+B)=
sinAcosB+cosAsinB=×+×=,
∴由正弦定理得:
c===.
答案:
10.【解析】(1)∵bsinA=a·cosB,由正弦定理可得sinBsinA=sinAcosB,即得tanB=,∴B=.
(2)∵sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cosB,9=a2+4a2-2a·2a·cos,解得a=,∴c=2a=2.

11. 【解析】如图,由已知A=60°,在△BCD中,由余弦定理得
cos∠BDC==-,
故sin∠BDC
==,
∴sin∠ACD=sin(∠BDC-60°)=sin∠BDCcos 60°-cos∠BDCsin60°=.
在△ACD中,由正弦定理得=,
于是AD==15(海里),
即此时轮船距离港口A还有15海里.
12.【解析】(1)由=及正弦定理有:
sinB=sin 2C,
∴B=2C或B+2C=π.
若B=2C,且<C<,
∴π<B<π,
B+C>π(舍).
∴B+2C=π,则A=C,
∴△ABC为等腰三角形.
(2)∵|+|=2,
∴a2+c2+2ac·cosB=4,
∵a=c,∴cosB=,而cosB=-cos 2C,
∴<cosB<1,∴1<a2<,
∴·=2-a2,故·∈(,1).
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