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课时提升作业(二十一)
平面对量的概念及其线性运算
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分,共48分)
1.已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是( )
A.a+b=0 B.a=b
C.a与b共线反向 D.存在正实数λ,使a=λb
【解析】选D.由于a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.
则a与b共线同向,故D正确.
【误区警示】解答本题易误选B,若a=b,则|a+b|=|a|+|b|,反之不愿定成立.
2.(2022·嘉兴模拟)下列命题中是真命题的是( )
①对任意两向量a,b,a-b与b-a是相反向量;
②在△ABC中,AB→+BC→-AC→=0;
③在四边形ABCD中,(AB→+BC→)-(CD→+DA→)= 0;
④在△ABC中,AB→-AC→=BC→.
A.①② B.②③
C.②④ D.③④
【解析】选A.①真命题.由于(a-b)+(b-a)
=a+(-b)+b+(-a)=a+(-a)+b+(-b)
=(a-a)+(b-b)= 0,
所以a-b与b-a是相反向量.
②真命题.由于AB→+BC→-AC→=AC→-AC→=0,
所以命题成立.
③假命题.由于AB→+BC→=AC→,CD→+DA→=CA→,
所以(AB→+BC→)-(CD→+DA→)
=AC→-CA→=AC→+AC→≠0,
所以该命题不成立.
④假命题.由于AB→-AC→=AB→+CA→=CB→≠BC→,
所以该命题不成立.故选A.
【加固训练】(2022·海口模拟)在△ABC中,AB→=c,AC→=b,若点D满足BD→=2DC→,则AD→=( )
A.23b+13c B.53c-23b
C.23b-13c D.13b+23c
【解析】选A.如图,由于在△ABC中,AB→=c,AC→=b,且点D满足BD→=2DC→,
所以,BA→+AD→=2(DA→+AC→),AD→=23AC→+13AB→=23b+13c,故选A.
3.(2022·台州模拟)如图,在△ABC中,点D是BC边的中点,过点D的直线交AB的延长线于点M,交AC于点N,若AB→=λAM→,AC→=μAN→,则λ+μ=( )
A.1 B.32 C.2 D.52
【解析】选C.由于D是BC的中点,
所以AD→=12(AB→+AC→),
又由于AB→=λAM→,AC→=μAN→,
所以AD→=12(λAM→+μAN→),
即AD→=λ2AM→+μ2AN→,
由于M,D,N三点共线,
所以λ2+μ2=1,即λ+μ=2.
4.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列结论错误的是( )
A.DE→=FC→ B.DF→=12BC→
C.DE→+EF→=DF→ D.DE→+EC→+CF→=0
【解析】选D.由于D,E,F分别是所在边的中点,结合图形易知A,B正确;由向量加法的三角形法则知C正确;对于D,DE→+EC→+CF→=DC→+CF→=DF→≠0,所以D错误.
5.(2022·绍兴模拟)在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且BC→=CD→,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若AO→=xAB→+(1-x)AC→,则x的取值范围是( )
A.(0,1) B.0,13 C.(-1,0) D.-13,0
【解析】选C.如图,由AO→=x·AB→+(1-x)AC→得AO→-AC→=x(AB→-AC→),即CO→=xCB→,又BC→=CD→,因此CO→=-xCD→,
由0<-x<1得-1<x<0.
6.(2022·宝鸡模拟)已知△ABC和点M满足MA→+MB→+MC→=0,若存在实数m使得AB→+AC→=mAM→成立,则m=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选B.依据题意,由于△ABC和点M满足MA→+MB→+MC→=0,则可知点M是三角形ABC的重心,设BC边的中点为D,则可知AM→=23AD→=23×12(AB→+AC→)=13(AB→+AC→),
所以AB→+AC→=3AM→,故m=3.
【加固训练】已知点O,N在△ABC所在平面内,且|OA→|=|OB→|=|OC→|,
NA→+NB→+NC→=0,则点O,N依次是△ABC的( )
A.重心 外心 B.重心 内心
C.外心 重心 D.外心 内心
【解析】选C.由|OA→|=|OB→|=|OC→|知,O为△ABC的外心;NA→+NB→+NC→= 0知,N为△ABC的重心.
7.设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是( )
A.|a+b|≤|a|+|b|
B.|a|-|b|≤|a+b|
C.|a|-|b|≤|a|+|b|
D.|a|≤|a+b|
【解析】选D.由向量加法的几何意义知|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|知A,B,C恒成立,取a+b=0,则D不成立.
【误区警示】解答本题时简洁忽视向量共线的情形.
8.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且DC→=2BD→,CE→=2EA→,AF→=2FB→,则AD→+BE→+CF→与BC→( )
A.反向平行 B.同向平行
C.平行但方向不确定 D.不共线
【思路点拨】结合图形,化简AD→+BE→+CF→,渐渐寻求其与BC→的关系.
【解析】选A.如图,
AD→=AB→+BD→=AB→+13BC→,
BE→=BA→+AE→=BA→+13AC→,
CF→=CB→+BF→=CB→+13BA→,
所以AD→+BE→+CF→=CB→+13(BC→+AC→+BA→)
=CB→+13(BC→+AC→-AB→)
=CB→+23BC→=-13BC→,
故AD→+BE→+CF→与BC→反向平行.
【加固训练】在△ABC中,BD→=2DC→,AD→=mAB→+nAC→,则mn的值为( )
A.2 B.12 C.3 D.13
【解析】选B.方法一:AD→=AB→+BD→=AB→+23BC→
=AB→+23(AC→-AB→)=13AB→+23AC→,
所以m=13,n=23,mn=12.
方法二:由于BD→=2DC→,
所以AD→-AB→=2(AC→-AD→),
所以AD→=13AB→+23AC→,得m=13,n=23.
所以mn=12.
二、填空题(每小题6分,共24分)
9.(2022·衢州模拟)已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA→+2OC→=3OB→,则|BC→||AB→|的值为 .
【解析】由于OA→+2OC→=3OB→,
所以2OC→-2OB→=OB→-OA→,即2BC→=AB→,
所以2|BC→|=|AB→|,|BC→||AB→|=12.
答案:12
10.(2022·重庆模拟)若AB→=3a,CD→=-5a,且|AD→|=|BC→|,则四边形ABCD的外形是 .
【解析】由于AB→=3a,CD→=-5a,所以AB→=-35CD→,AB→,CD→共线,所以AB,CD平行且不相等,又有|AD→|=|BC→|,所以四边形ABCD为等腰梯形.
答案:等腰梯形
【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧
平面对量的学问在解决平面几何中的问题时应用格外广泛:利用共线向量定理,可以证明点共线,两直线平行,并进而判定一些特殊图形;利用向量的模,可以说明线段间的长度关系,并进而求解图形的面积.在后续内容中,向量的应用将更广泛.要留意图形中的线段、向量是如何相互转化的.
11.已知向量,其中a,b均为非零向量,则|c|的取值范围是 .
【思路点拨】依据题意求|c|的最大、最小值即可.
【解析】均为单位向量,当它们共线同向时,|c|取最大值2,当它们共线反向时,|c|取最小值0,故|c|的取值范围是[0,2].
答案:[0,2]
12.(力气挑战题)已知△ABC中,AB→=a,AC→=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足OP→=OA→+λa+λb,则动点P的轨迹所过的定点为 .
【解析】依题意,由OP→=OA→+λa+λb,
得OP→-OA→=λ(a+b),
即AP→=λ(AB→+AC→).
如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于点M,则AP→=λAD→,
所以A,P,D三点共线,
即P点的轨迹是AD所在的直线,由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点M.
答案:边BC的中点
【加固训练】已知点P为△ABC所在平面上的一点,且AP→=13AB→+tAC→,其中t为实数,若点P落在△ABC的内部,则t的取值范围是 .
【解析】如图,E,F分别为AB,BC的三等分点,由AP→=13AB→+tAC→可知,
P点落在EF上,而EF→=23AC→,
所以点P在E点时,t=0,
点P在F点时,t=23.而P在△ABC的内部,
所以0<t<23
答案:0,23
三、解答题(每小题14分,共28分)
13.(2022·临沂模拟)如图,在△ABC中,AN→=13NC→,P是BN上的一点,若AP→=mAB→+211AC→,求实数m的值.
【解析】由条件知BP→=AP→-AB→
=(m-1)AB→+211AC→,
PN→=AN→-AP→=-mAB→+344AC→.
由B,P,N三点共线知BP→=λPN→,即(m-1)AB→+
211AC→=λ(-mAB→+344AC→),
所以m-1=-λm,211=344λ,得λ=83,m=311.
故m=311.
14.设点O在△ABC内部,且有4OA→+OB→+OC→=0,求△ABC的面积与△OBC的面积之比.
【解析】如图,取BC的中点D,连接OD,
则OB→+OC→=2OD→,
又4OA→=-(OB→+OC→)=-2OD→,
即OA→=-12OD→,
所以O,A,D三点共线,且|OD→|=2|OA→|,
所以O是中线AD上靠近A点的一个三等分点,
所以S△ABC∶S△OBC=3∶2.
【加固训练】
已知P为△ABC内一点,且3AP→+4BP→+5CP→=0,延长AP交BC于点D,若AB→=a,AC→=b,用a,b表示向量AP→,AD→.
【解析】由于BP→=AP→-AB→=AP→-a,
CP→=AP→-AC→=AP→-b,
又3AP→+4BP→+5CP→=0.
所以3AP→+4(AP→-a)+5(AP→-b)= 0,
所以AP→=13a+512b.
设AD→=tAP→(t∈R),
则AD→=13ta+512tb. ①
又设BD→=kBC→(k∈R),
由BC→=AC→-AB→=b-a,得BD→=k(b-a).
而AD→=AB→+BD→=a+BD→.
所以AD→=a+k(b-a)=(1-k)a+kb, ②
由①②得13t=1-k,512t=k,解得t=43.
代入①得AD→=49a+59b.
所以AP→=13a+512b,AD→=49a+59b.
【加固训练】
1.(2022·南昌模拟)如图所示,在△ABO中,OC→=14OA→,OD→=12OB→,AD与BC相交于点M.设OA→=a,OB→=b.
(1)试用a和b表示向量OM→.
(2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,设OE→=λOA→,OF→=
μOB→,当EF为AD时,λ=1,μ=12,此时1λ+3μ=7;
当EF为CB时,λ=14,μ=1,此时1λ+3μ=7,有人得出如下结论:不论E,F在线段AC,BD上如何变动,1λ+3μ=7总成立.试问他的这个结论对吗?请说明理由.
【思路点拨】(1)利用平面对量基本定理:设OM→=ma+nb,再利用A,D,M共线,C,M,B共线得出m,n的方程组解出m,n的值.
(2)利用E,M,F共线,设EM→=kEF→,得出与k无关的结论即可.
【解析】(1)设OM→=ma+nb,则AM→=OM→-OA→=ma+nb-a=(m-1)a+nb,
AD→=OD→-OA→=12OB→-OA→=-a+12b.
由于A,M,D三点共线,所以AM→与AD→共线.
故存在实数t,使得AM→=tAD→,
即(m-1)a+nb=t(-a+12b).
所以(m-1)a+nb=-ta+12tb,
所以m-1=-t,n=t2,消去t得m-1=-2n,
即m+2n=1.①
由于CM→=OM→-OC→=ma+nb-14a
=m-14a+nb,
CB→=OB→-OC→=b-14a=-14a+b,
又C,M,B三点共线,
所以CM→与CB→共线,同理可得4m+n=1.②
联立①②,解得m=17,n=37.故OM→=17a+37b.
(2)他的结论是对的.理由如下:
由于EM→=OM→-OE→=17a+37b-λa
=17-λa+37b,
EF→=OF→-OE→=μOB→-λOA→=-λa+μb,
由于EF→与EM→共线,
故存在实数k,使得EM→=kEF→,
即17-λa+37b=k(-λa+μb)=-λka+μkb,
所以17-λ=-λk,37=μk,消去k得17-λ=-3λ7μ.
即1λ+3μ=7.
2.如图所示,在五边形ABCDE中,点M,N,P,Q分别是AB,CD,BC,DE的中点,K和L分别是MN和PQ的中点,求证:KL→=14AE→.
【证明】任取一点O,KL→=OL→-OK→.
由于K,L为MN,PQ的中点.
所以OK→=12(OM→+ON→),OL→=12(OP→+OQ→).
又由于M,N,P,Q分别为AB,CD,BC,DE的中点,
所以OM→=12(OA→+OB→),ON→=12(OC→+OD→),
OP→=12(OB→+OC→),OQ→=12(OD→+OE→).
所以KL→=OL→-OK→
=12[-(OM→+ON→)+(OP→+OQ→)]
=14[-(OA→+OB→+OC→+OD→)+(OB→+OC→+OD→+OE→)]
=14(-OA→+OE→)=14AE→.
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