2021高考数学(江苏专用-理科)二轮专题整合：1-2-1三角函数与三角变换.docx

第1讲　三角函数与三角变换

一、填空题
1．(2021·苏北四市模拟)若sin＝，则sin＝______.
解析　　sin＝－cos
＝－cos＝2sin2－1＝－.
答案　－
2．(2022·南京、盐城模拟)设函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的______条件．
解析　　φ＝⇒f(x)＝cos＝－sin 2x为奇函数，∴“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要条件．
又f(x)＝cos(2x＋φ)是奇函数⇒f(0)＝0⇒φ＝＋kπ(k∈Z) φ＝.
∴“f(x)是奇函数”不是“φ＝”的充分条件．
答案　必要不充分
3．(2022·苏锡常镇模拟)已知cos＋sin α＝ ，则sin的值是________．
解析　　cos＋sin α
＝cos α＋sin α＝ ，
∴cos α＋sin α＝，
即sin＝.
故sin＝－sin＝－.
答案　－
4．(2022·安徽卷)若将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
解析　　f(x)＝sing(x)＝sin＝sin，
关于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，
则－2φ＝kπ＋，∴φ＝－π－(k∈Z)，
明显，k＝－1时，φ有最小正值－＝.
答案　
5．(2022·苏北四市调研)已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1,1]上的单调增区间为________．
解析　　由于函数f(x)的最大值是2，所以最小正周期T＝2＝，解得ω＝，所以f(x)＝2sin，当2kπ－≤πx－≤2kπ＋，k∈Z，即2k－≤x≤2k＋，k∈Z时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在x∈[－1,1]上的单调递增区间是.
答案　
6．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析　　由题意知f(x)的一条对称轴为直线x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝，从而ω＝.
答案　
7．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是______．
解析　　由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，那么当 x∈时，－≤2x－≤，
所以－≤sin(2x－)≤1，故f(x)∈.
答案　
8．给出下列说法：
①正切函数在定义域内是增函数；
②函数f(x)＝2tan的单调递增区间是(k∈Z)；
③函数y＝2tan的定义域是；
④函数y＝tan x＋1在上的最大值为＋1，最小值为0.
其中正确说法的序号是________．
解析　　①正切函数在定义域内不具有单调性，故错误；
②由kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，故正确；
③由2x＋≠＋kπ(k∈Z)，解得x≠＋(k∈Z)，故错误；
④由于函数y＝tan x＋1在上单调递增，所以x＝时取得最大值为＋1，x＝－时取得最小值为0，故正确，所以正确说法是②④.
答案　②④
二、解答题
9．(2022·宿迁摸底改编)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分如图所示．
.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．
解　(1)由图象知A＝2，T＝8＝，
∴ω＝，得f(x)＝2sin.
由×1＋φ＝2kπ＋⇒φ＝2kπ＋，
又|φ|<，∴φ＝.∴f(x)＝2sin.
(2)y＝2sin＋2sin
＝2sin＋2cos.
＝2sin＝2cosx，
∵x∈，
∴x∈，
∴当x＝－，即x＝－时，y的最大值为；
当x＝－π，即x＝－4时，y的最小值为－2.
10．(2022·江苏卷)已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解　(1)由于α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－.
故sin＝sincos α＋cossin α
＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝1－2 sin 2α＝1－2×2＝，
所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α
＝×＋×
＝－.
11．(2021·苏北四市调研)已知函数f(x)＝sin·sin＋sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)在△ABC中，若f＝1，求sin B＋sin C的最大值．
解　(1)f(x)＝sinsin＋sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x＝sin，所以f＝1.
(2)由f＝1，有f＝sin＝1，由于0＜A＜π，所以A＋＝，即A＝.
sin B＋sin C＝sin B＋sin＝sin B＋cos B＝sin.
由于0＜B＜，所以＜B＋＜π，0＜sin≤1，
所以sin B＋sin C的最大值为.