2021高考数学(四川专用-理科)二轮专题整合：1-2-1三角函数的图象与性质.docx

专题二 三角函数与平面对量
第1讲　三角函数的图象与性质

一、选择题
1．(2022·吉林省试验中学一模)函数f(x)＝cos 2x＋是 (　　)．
A．非奇非偶函数
B．仅有最小值的奇函数
C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值又有最小值的偶函数
解析　f(x)＝cos 2x＋sin＝cos 2x＋cos x＝2cos2 x＋cos x－1，易知函数f(x)是偶函数，且当cos x＝1时取最大值，cos x＝－时取最小值．
答案　D
2．将函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移|m|的个单位，若所得的图象关于直线x＝对称，则m的最小值为 (　　)．
A．－ B．－
C．0 D．
解析　f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
将f(x)的图象向左平移|m|个单位，得到函数g(x)＝
2sin2＝2sin，
则：2×－＋2|m|＝＋kπ(k∈Z)，
解得|m|＝＋kπ(k∈Z)，
当k＝0时，|m|＝，
又由于m＞－，所以m的最小值为－.
答案　B
3．(2022·北京东城区质量调研)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为 (　　)．
A．2＋ B．4
C．3 D．2－
解析　由于0≤x≤9，所以－≤－≤，
因此当－＝时，函数y＝2sin取最大值，
即ymax＝2×1＝2，当－＝－时，
函数y＝2sin取最小值，
即ymin＝2sin＝－，
因此y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为2＋.
答案　A
4．(2022·北京顺义区统练)已知函数f(x)＝cos－cos 2x，其中x∈R，给出下列四个结论：
①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；
②函数f(x)图象的一条对称轴是x＝；
③函数f(x)图象的一个对称中心为；
④函数f(x)的递增区间为(k∈Z)．
则正确结论的个数是 (　　)．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　由已知得，f(x)＝cos－cos 2x＝cos 2xcos －sin 2xsin －cos 2x＝－sin.f(x)不是奇函数，故①错；
当x＝时，f＝－sin＝1，故②正确；
当x＝时，f＝－sin π＝0，故③正确；
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故④正确．综上，正确的结论个数为3.
答案　C
5．(2022·济宁一模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(0＜φ＜π)的图象如图所示，若f(x0)＝3，x0∈，则sin x0的值为 (　　)．

A.
B.
C.
D.
解析　由图象知A＝5，＝－＝π，
∴T＝2π，∴ω＝＝1，
且1×＋φ＝2kπ＋，
又0＜φ＜π，∴φ＝，
∴f(x)＝5sin.
由f(x0)＝3，得sin(x0＋)＝，
即sin x0＋cos x0＝，①
又x0∈，∴x0＋∈，
∴cos ＝－，即cos x0－sin x0＝－，②
由①②解得sin x0＝.
答案　B
二、填空题
6．(2022·重庆卷)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－≤φ＜)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x 的图象，则f＝________.

答案　
7．(2022·江苏五市联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)在R上的部分图象如图所示，则f(2 014)的值为________．

解析　依据题意，由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)在R上的部分图象可知周期为12，由此可知T＝＝12，ω＝，A＝5，将(5,0)代入可知，5sin＝0，可知φ＝，
所以f(2 014)＝5sin＝－.
答案　－
8．(2022·北京卷)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
解析　由f(x)在上具有单调性，得≥－，
即T≥；由于f＝f，所以f(x)的一条对称轴为x＝＝；又由于f＝－f，所以f(x)的一个对称中心的横坐标为＝.所以T＝－＝，即T＝π.
答案　π
三、解答题
9．(2022·四川卷)已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是其次象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．
解　(1)由于函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
(2)由已知，有sin
＝cos(cos 2α－sin 2α)，
所以sin αcos＋cos αsin
＝(cos 2α－sin 2α)，
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是其次象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.
此时，cos α－sin α＝－.
当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝.
由α是其次象限角，知cos α－sin α<0，
此时cos α－sin α＝－.
综上所述，cos α－sin α＝－或－.

10．(2022·济宁一模)已知函数f(x)＝sin xcos＋.
(1)当x∈时，求函数f(x)的值域；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的表达式及对称轴方程．
解　(1)f(x)＝sin xcos＋
＝sin x＋
＝sin xcos x－sin2 x＋
＝sin 2x－×＋
＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
由－≤x≤，得－≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1，
－≤sin≤，
所以f(x)∈.
(2)由(1)知f(x)＝sin，将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，
得到函数y＝sin
＝sin的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin的图象，所以g(x)＝sin.
当4x－＝kπ＋(k∈Z)时，g(x)取最值，
所以x＝＋(k∈Z)，
所以函数g(x)的对称轴方程是x＝＋(k∈Z)．
11．(2022·雅安诊断)设函数f(x)＝2cos2 x＋sin 2x＋a(a∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．
解　(1)f(x)＝2cos2 x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a
＝sin＋1＋a，
则f(x)的最小正周期T＝＝π，
且当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)时f(x)单调递增，
即(k∈Z)为f(x)的单调递增区间．
(2)当x∈时，则≤2x＋≤，
当2x＋＝，即x＝时sin＝1.
所以f(x)max＝＋1＋a＝2⇒a＝1－.
由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
即x＝＋(k∈Z)为f(x)的对称轴．