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课时作业5 函数的单调性与最值
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．关于函数y＝－的单调性的叙述正确的是( )
A．在(－∞，0)上是递增的，在(0，＋∞)上是递减的
B．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递增
C．在[0，＋∞)上递增
D．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的
解析：由于函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上是递减的，且－3<0，因此函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的，这里特殊留意两区间之间只能用“和”或“，”，确定不能用“∪”．
答案：D
2．(2022·南昌一模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是( )
A．y＝x2 B．y＝|x|＋1
C．y＝－lg|x| D．y＝2|x|
解析：对于C中函数，当x>0时，y＝－lgx，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg|x|为偶函数．
答案：C
3．(2022·青岛模拟)已知奇函数f(x)对任意的正实数x1，x2(x1≠x2)，恒有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，则确定正确的是( )
A．f(4)>f(－6) B．f(－4)<f(－6)
C．f(－4)>f(－6) D．f(4)<f(－6)
解析：由(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0知f(x)在(0，＋∞)上递增，∴f(4)<f(6)⇔f(－4)>f(－6)．
答案：C
4．(2021·重庆理，3)(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B.
C．3 D.
解析：＝
＝
∴当a＝－时，()max
＝＝，故选B.
答案：B
5．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：3x>0⇒3x＋1>1⇒log2(3x＋1)>log21＝0，选A.
答案：A
6．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是( )
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
解析：由已知易得即x>3，又0<0.5<1，
∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．
答案：A
7．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上是增函数，而f(2)＝0，所以当x1∈(1,2)时，有f(x1)<f(2)＝0；当x2∈(2，＋∞)时，有f(x2)>f(2)＝0.故选B.
答案：B
8．(2022·黄冈模拟)已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析：明显函数的定义域是[－3,1]且y≥0，故y2＝4＋2＝4＋2＝4＋2，依据根式内的二次函数，可得4≤y2≤8，故2≤y≤2，即m＝2，M＝2，所以＝.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．(2022·上海理，7)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝e|x|的对称轴为x＝0，
∴f(x)＝e|x－a|的对称轴为x＝a，若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴a≤1.
答案：(－∞，1]
10．(2022·台州模拟)若函数y＝|2x－1|，在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．
解析：作出函数y＝|2x－1|的图像如下：
而函数在(－∞，m]上单调递减，故m≤0.
答案：m≤0
11．若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：f(x)＝＝＝a＋要使f(x)在(－2，＋∞)上为增函数，只需1－2a<0，即a>.
答案：a>
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求f(1)的值，并推断f(x)的单调性；
(2)若f(4)＝2，求f(x)在[5,16]上的最大值．
解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
任取x1，x2∈(0，＋∞)，
且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)>0，
∴f()>0，即f(x1)－f(x2)>0，因此f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增加的．
(2)∵f(x)在(0，＋∞)上是增加的，
∴f(x)在[5,16]上的最大值为f(16)．
由f()＝f(x1)－f(x2)，
得f()＝f(16)－f(4)，
而f(4)＝2，∴f(16)＝4.
∴f(x)在[5,16]上的最大值为4.
13．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调增加的；
(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．
解：(1)设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0.
f(x2)－f(x1)＝(－)－(－)
＝－＝>0，
∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调增加的．
(2)f(x)在[，2]上的值域是[，2]，
又f(x)在[，2]上单调递增，
∴f()＝，f(2)＝2.
∴，∴a＝.
14．函数f(x)＝log9(x＋8－)在(1，＋∞)上是增加的，求a的取值范围．
解：由已知f(x)在(1，＋∞)是单调递增的，设任意x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)<f(x2)
即log9(x1＋8－)<log9(x2＋8－)，
得x1＋8－<x2＋8－，
即：(x1－x2)(1＋)<0.
∵x1－x2<0，
∴1＋>0，>－1，a>－x1x2.
∵x2>x1>1，
∴欲使a>－x1x2恒成立，只要a≥－1.
同时欲使x>1时x＋8－>0恒成立，
只要x＝1时x＋8－≥0即可，得a≤9.
∴所求a的范围是－1≤a<9.
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