2021高考数学(江苏专用-理科)二轮专题整合：1-2-2解三角形问题.docx

第2讲　解三角形问题

一、填空题
1．(2022·西安模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin Asin B＋bcos2 A＝a，则＝________.
解析　　由于asin Asin B＋bcos2 A＝a，所以由正弦定理，得sin Asin Asin B＋sin B＝sin A，即sin B＝sin A，所以＝.
答案　
2．(2022·益阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asin A＋bsin B－csin C＝asin B，则角C等于________．
解析　　由正弦定理，得a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.
答案　
3．(2022·吉林省试验中学一模)在△ABC中，sin(A＋B)·sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的外形是________三角形．
解析　　由于sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2 C，所以sin (A－B)＝sin C，又由于A，B，C为△ABC的内角，所以A－B＝C，所以A＝90°，所以△ABC为直角三角形．
答案　直角
4．(2022·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
解析　　由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
∴12＝AB2＋16－2×AB×4×cos 60°，解得AB＝2，
∴S△ABC＝·AB·AC·sin A＝×2×4×sin 60°＝2.
答案　2
5．(2022·福州模拟)在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，则sin C＝________.
解析　　由于在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，所以S△ABC＝BC×BAsin B＝，即×1×BA×＝，解得BA＝4.又由余弦定理，得AC2＝BC2＋BA2－2BC·BAcos B，即得AC＝，由正弦定理，得＝，解得sin C＝.
答案　
6．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C．则A的取值范围是________．
解析　　由题意结合正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc⇒b2＋c2－a2≥bc⇒≥1⇒cos A≥，A为△ABC内角⇒0＜A≤.
答案　
7．(2022·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．
解析　　∵2sin B＝3sin C，由正弦定理得2b＝3c，∴b＝c，
又b－c＝a，∴a＝4(b－c)，∴a＝2c.
∴cos A＝＝＝－.
答案　－
8．(2021·苏北四市模拟)在△ABC中，AD为BC边上的高线，AD＝BC，角A，B，C的对边为a，b，c，则＋的取值范围是________．
解析　　由于AD＝BC＝a，由a2＝bcsin A，
解得sin A＝，再由余弦定理得cos A＝＝＝，
得＋＝2cos A＋sin A，又A∈(0，π)，
所以由基本不等式和帮助角公式得＋的取值范围是[2，]．
答案　[2，]
二、解答题
9．(2022·北京卷)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.

(1)求sin ∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
解　(1)在△ADC中，由于cos∠ADC＝，
所以sin ∠ADC＝.
所以sin ∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin ∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin ∠B
＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B
＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.
10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，B＝，b＝，求a＋c的范围．
解　法一　由B＝，得A＋C＝.
所以sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋＝sin A＋cos A＝
sin.又0＜A＜，所以＜A＋＜.
所以＜sin≤1.所以sin A＋sin C∈.
由正弦定理，得＝＝＝＝2，
所以a＋c＝2sin A＋2sin C＝2(sin A＋sin C)．
所以a＋c∈(，2]．
法二　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos ＝(a＋c)2－2ac＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－2＝，当且仅当a＝c时，取等号．
所以(a＋c)2≤4，故a＋c≤2.
又a＋c＞b＝，所以＜a＋c≤2，即a＋c∈(，2]．
11. (2021·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.

现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲动身2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问：乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应把握在什么范围内？
解　(1)在△ABC中，由于cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得
AB＝·sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)设乙动身t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，
所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×
＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，得BC＝·sin A＝×＝500(m)．
乙从B动身时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应把握在(单位：m/min)范围内．