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第4讲 古典概型
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．一枚硬币连掷2次，恰有一次正面朝上的概率为________．
解析 一枚硬币连掷2次，基本大事有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次消灭正面的基本大事有(正，反)，(反，正)，故其概率为＝.
答案
2．(2021·盐城模拟)若某公司从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．
解析 记“甲或乙被录用”为大事A.从五人中录用三人，基本大事有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立大事仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A的对立大事的概率为P()＝，∴P(A)＝1－P()＝.
答案
3．(2022·东北三省四市联考)甲、乙、丙三人站成一排，则甲乙相邻的概率为________．
解析 甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)，共6种排法，甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)，共4种排法，由概率公式得甲、乙两人相邻而站的概率为＝.
答案
4．(2022·湖北卷改编)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则p1，p2，p3的大小关系为________．
解析 随机掷两枚质地均匀的骰子，全部可能的结果共有36种．大事“向上的点数之和不超过5”包含的基本大事有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10种，其概率p1＝＝.大事“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立大事，所以“向上的点数之和大于5”的概率p2＝.由于朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p3＝.故p1<p3<p2.
答案 p1＜p3＜p2
5．(2021·苏州调研)已知m∈{－1,0,1}，n∈{－1,1}，若随机选取m，n，则直线mx＋ny＋1＝0恰好不经过其次象限的概率是________．
解析 依题意，留意到可形成数组(m，n)共有6组，其中相应直线mx＋ny＋1＝0恰好不经过其次象限的数组(m，n)共有2组(它们是(0,1)与(－1,1))，因此所求的概率是＝.
答案
6．(2021·苏、锡、常、镇模拟)第17届亚运会于2022年9月19日在韩国仁川进行．运动会期间来自A高校2名和B高校4名共计6名高校生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操竞赛场馆服务，至少有一名A高校志愿者的概率是________．
解析 记2名来自A高校的志愿者为A1，A2,4名来自B高校的志愿者为B1，B2，B3，B4.从这6名志愿者中选出2名的基本大事有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15种．其中至少有一名A高校志愿者的大事有9种．故所求概率P＝＝.
答案
7．(2022·南京、盐城模拟)从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
解析 从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为.
答案
8．(2021·成都诊断)甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成果的茎叶图如图所示．假如分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成果相同的概率是________.
解析 由题意知甲组三名同学的成果为88,92,93，乙组三名同学的成果为90,91,92，则两组中各任取一名共有9种结果，成果相同时只有一种结果，所以概率为.
答案
二、解答题
9．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本大事共18个：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．
由18个基本大事组成．由于每一个基本大事被抽取的机会均等，因此这些基本大事的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一大事，则包含的结果为：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)
大事M由6个基本大事组成，
因而P(M)＝＝.
(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一大事，则其对立大事表示“B1、C1全被选中”这一大事，由于包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3个结果，大事有3个基本大事组成，所以P()＝＝，由对立大事的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝.
10．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：
9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的确定值不超过0.5的概率．
解 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得＝，所以n＝2 000，
则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意得＝，则a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示大事“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本大事空间包含的基本大事有：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，
(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．
大事E包含的基本大事有：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，
(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．
故P(E)＝，即所求概率为.
(3)样本平均数＝(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
设D表示大事“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的确定值不超过0.5”，则基本大事空间中有8个基本大事，大事D包含的基本大事有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.
力量提升题组
(建议用时：10分钟)
1．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为大事Cn(2≤n≤5，n∈N)，若大事Cn的概率最大，则n的全部可能值为________．
解析 分别从集合A和B中随机取出一个数，确定平面上的一个点P(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6种状况，a＋b＝2的有1种状况，a＋b＝3的有2种状况，a＋b＝4的有2种状况，a＋b＝5的有1种状况，所以可知若大事Cn的概率最大，则n的全部可能值为3和4.
答案 3和4
2．(2022·合肥检测)从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参与某公益活动，每天一人，则星期六支配一名男生、星期日支配一名女生的概率为________．
解析 从2名男生和2名女生中任选两人在星期六、星期日参与某公益活动，每天一人，共有12种选法，其中星期六支配一名男生，星期日支配一名女生的结果有4种，所求概率为＝.
答案
3．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为________．
解析 由1,2,3组成的三位数有123,132,213,231,312,321，共6个；
由1,2,4组成的三位数有124,142,214,241,412,421，共6个；
由1,3,4组成的三位数有134,143,314,341,413,431，共6个；
由2,3,4组成的三位数有234,243,324,342,432,423，共6个．
所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．
当b＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”；
当b＝2时，有324,423，共2个“凹数”．
∴这个三位数为“凹数”的概率P＝＝.
答案
4．(2021·扬州中学模拟)将一枚骰子抛掷两次，若先后消灭的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为________．
解析 将一枚骰子抛掷两次共有36种结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，方程x2＋bx＋c＝0有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2，则A包含的结果有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共19种，由古典概率的计算公式可得P(A)＝.
答案
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