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课时提升作业(三十七)
一、选择题
1.（2021·宝鸡模拟）原点(0,0)和点P(1,1)在直线x+y-a=0的两侧,则a的取值范围是( )
(A)a<0或a>2 (B)a=0或a=2
(C)0<a<2 (D)0≤a≤2
2.设x,y满足约束条件则2x-y的最小值为 ( )
(A)6 (B) (C)-7 (D)-6
3.在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为 ( )
(A)-5 (B)1 (C)2 (D)3
4.(2022·山东高考)已知变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-y的取值范围是 ( )
(A)[-,6] (B)[-,-1]
(C)[-1,6] (D)[-6,]
5.若实数x,y满足则的取值范围是 ( )
(A)(0,2) (B)(0,2] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞)
6.(2021·西安模拟)某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理方案当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z= ( )
(A)4650元 (B)4700元
(C)4900元 (D)5000元
7.若实数x,y满足则|x-y|的取值范围是 ( )
(A)[0,2] (B)[2,]
(C)[-,2] (D)[0,]
8.(力气挑战题)设x,y满足约束条件若目标函数z=x+y(a>0,b>0)的最大值为2,则a+b的最小值为 ( )
(A) (B) (C) (D)4
二、填空题
9.(2021·吉安模拟)已知实数x,y满足若(3,)是ax-y取得最小值时唯一的可行解,则实数a的取值范围为 .
10.(2022·新课标全国卷)设x,y满足约束条件则z=x-2y的取值范围为 .
11.(2021·安康模拟)若实数x，y满足假如目标函数z=x-y的最小值为-2，则实数m= .
12.设双曲线x2-y2=1的两条渐近线与直线x=围成的三角形区域(包括边界)为D,P(x,y)为该区域D内的一动点,则目标函数z=x-2y的最小值为 .
三、解答题
13.已知关于x,y的二元一次不等式组
(1)求函数u=3x-y的最大值.
(2)求函数z=x+2y+2的最小值.
14.(2021·九江模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)满足1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤5,求f(-3)的取值范围.
15.(力气挑战题)某公司方案2022年在A,B两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.A,B两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定A,B两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何支配在两个电视台做广告的时间,才能使公司的收益最大?最大收益是多少万元?
答案解析
1.【解析】选C.由题意(0+0-a)(1+1-a)<0,
即a(a-2)<0,∴0<a<2.
2.【解析】选D.作可行域如图,
令2x-y=m,则y=2x-m,
当直线y=2x-m过点(1,8)时m取最小值,∴mmin=2×1-8=-6.
3.【解析】选D.如图,得出的区域即为满足x-1≤0与x+y-1≥0的平面区域,而直线ax-y+1=0恒过点(0,1),故可看作直线绕点(0,1)旋转,当a=-5时,则可行域不是一个封闭区域,当a=1时,面积为1,当a=2时,面积为,当a=3时,面积为2.
4.【解析】选A.画出约束条件表示的可行域,如图,由目标函数z=3x-y得直线y=3x-z,当直线平移至点A(2,0)时,目标函数取得最大值为6,当直线平移至点B(,3)时,目标函数取得最小值为-.所以目标函数z=3x-y的取值范围是[-,6].
5.【解析】选D.方法一:画出可行域(如图所示),表示可行域中的点(x,y)与原点连线的斜率,由图形可知,当点(x,y)在点A(1,2)时,它与原点连线的斜率最小,kOA=2,无最大值,故的取值范围是[2,+∞).
方法二:由题得y≥x+1,所以≥1+,
又0<x≤y-1≤1,因此≥2.
6.【解析】选C.设派用甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,获得的利润为m元,m=450x+350y,由题意,x,y满足关系式作出相应的平面区域,m=450x+350y=50(9x+7y),在由确定的交点(7,5)处取得最大值
4 900元.
7.【思路点拨】先求出x-y的取值范围,即可得到|x-y|的取值范围.
【解析】选D.画出可行域(如图),令z=x-y,则y=x-z,可知当直线y=x-z经过点M(-,3)时z取最小值zmin=-;当直线y=x-z经过点P(5,3)时z取最大值zmax=2,即-≤z=x-y≤2,所以0≤|x-y|≤.
8.【思路点拨】画出可行域,对目标函数分析得到最优解,从而依据已知条件代入得到a,b满足的条件,然后利用“1的代换”方法,使用基本不等式求得最小值.
【解析】选A.作可行域如图,
则直线z=x+y过点A(1,4)时z取最大值,
则+=2,∴+=1,
∴a+b=(a+b)(+)
=+2++≥+2=,
当且仅当=,即b=2a=时取等号.
【变式备选】函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间[-2,2]上是削减的,则b+c的最大值为 .
【解析】由题意知f'(x)=3x2+2bx+c在区间[-2,2]上满足f'(x)≤0恒成立,
即
⇒此问题相当于在约束条件下,求目标函数z=b+c的最大值,由于⇒M(0,-12),如图可知,当直线l:b+c=z过点M时,z最大,所以过M点时值最大为-12.
答案：-12
9.【解析】令z=ax-y,作可行域为
则a<-,故a的取值范围是(-∞,-).
答案：(-∞,-)
10.【解析】作出可行域(如图阴影部分),
作直线x-2y=0,并向左上、右下平移,过点A时,z=x-2y取得最大值,过点B时,z=x-2y取最小值.由得B(1,2),由得A(3,0).所以zmax=3-2×0=3,zmin=1-2×2=-3,故z的取值范围是[-3,3].
答案：[-3,3]
11.【解析】先作出的区域如图可知在三角形ABC区域内，由z=x-y得y=x-z，直线在y轴上的截距最大时，z取得最小值，此时直线为y=x-(-2)=x+2，作出直线y=x+2，交y=2x-1于A点，由图像可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x+y=m也过A点，由得代入x+y=m得，m=3+5=8.
答案:8
12.【解析】双曲线的两条渐近线方程为y=x和y=-x,因此可画出可行域(如图).由z=x-2y得y=x-z,由图形可知当直线y=x-z经过点A(,)时,z取最小值,最小值为-.
答案：-
13.【解析】作出二元一次不等式组表示的平面区域,如图所示:
(1)由u=3x-y,得y=3x-u,由图可知,当直线经过可行域上的B点时,截距-u最小,即u最大,解方程组得B(2,1),
∴umax=3×2-1=5,
∴u=3x-y的最大值是5.
(2)由z=x+2y+2,得y=-x+z-1,由图可知,当直线经过可行域上的A点时,截距z-1最小,即z最小,解方程组得A(-2,-3),
∴zmin=-2+2×(-3)+2=-6.
∴z=x+2y+2的最小值是-6.
14.【解析】∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤5,
∴
f(-3)=9a-3b,作可行域如图,
∴当直线f(-3)=9a-3b过点A(,)时,
f(-3)min=9×-3×=12,
∴当直线f(-3)=9a-3b过点B(,)时,
f(-3)max=9×-3×=27,即f(-3)的取值范围为[12,27].
15.【思路点拨】设公司在A和B做广告的时间分别为x分钟和y分钟,由题意列出x,y的约束条件和目标函数,然后利用线性规划的学问求解.
【解析】设公司在A和B做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元,
由题意得
目标函数z=3000x+2000y.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分.
作直线l:3000x+2000y=0,即3x+2y=0,
平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值.
联立
解得
∴点M的坐标为(100,200),
∴zmax=3000×100+2000×200=700000,
即该公司在A电视台做100分钟广告,在B电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.
【方法技巧】常见的线性规划应用题的类型
(1)给定确定量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收益最大.
(2)给定一项任务,问怎样统筹支配,使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小.
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