【复习参考】2021年高考数学(理)提升演练：二项式定理.docx

2021届高三数学（理）提升演练：二项式定理

一、选择题
1．在(－)6的二项开放式中，x2的系数为 (　　)
A．－　　　　　　　　　　 B.
C．－ D.
2．(4x－2－x)6(x∈R)开放式中的常数项是 (　　)
A．－20 B．－15
C．15 D．20
3．在二项式(x2＋x＋1)(x－1)5的开放式中，含x4项的系数是 (　　)
A．－25 B．－5
C．5 D．25
4．在n的开放式中，只有第5项的二项式系数最大，则开放式中常数项是(　　)
A．－7 B．－28
C．7 D．28
5．在二项式(＋)n的开放式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则开放式中常数项的值为 (　　)
A．6 B．9
C．12 D．18
6. 若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋…＋a2011x2011(x∈R)，则＋＋…＋的值为 (　　)
A．2 B．0
C．－1 D．－2
二、填空题
7．(1－)4(1＋)开放式中x的系数是________．
8. 若(x＋1)4(x＋4)8＝a0(x＋3)12＋a1(x＋3)11＋a2(x＋3)10＋…＋a11(x＋3)＋a12，则log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝________.
9．在(3－2)11的开放式中任取一项，则所取项为有理项的概率P＝________.
三、解答题
10．已知a为如图所示的程序框图中输出的结果，求二项式(a－)6的开放式中含x2项的系数．

11．已知(－)n(n∈N*)的开放式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
(1)求开放式中各项系数的和；
(2)求开放式中含x的项．

12．已知(＋2x)n，
(1)若开放式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求开放式中二项式系数最大项的系数；
(2)若开放式前三项的二项式系数和等于79，求开放式中系数最大的项．

详解答案

一、选择题
1．解析：在(－)6的开放式中，第r＋1项为
Tr＋1＝C()6－r(－)r＝C()6－rx3－r(－2)r，
当r＝1时，为含x2的项，其系数是C()5(－2)＝－.
答案：C
2．解析：Tr＋1＝C(22x)6－r(－2－x)r＝(－1)rC(2x)12－3r，r＝4时，12－3r＝0，故第5项是常数项，T5＝(－1)4C＝15.
答案：C
3．解析：由于(x－1)5中含x4，x3，x2项分别为－Cx4，Cx3，－Cx2，所以含x4项系数为－C＋C－C＝－5.
答案：B
4．解析：依题意，＋1＝5，∴n＝8.二项式为8，
易得常数项为C26＝7.
答案：C
5．解析：A＝(1＋3)n＝4n，B＝2n.
A＋B＝4n＋2n＝72，
∴n＝3.
∴(＋)n＝(＋)3.
Tr＋1＝C()3－r()r＝3rCx·x－r
＝3rCx
∴当r＝1时Tr＋1为常数项．
∴常数项为3C＝9.
答案：B
6. 解析：观看所求数列和的特点，
令x＝可得a0＋＋＋…＋＝0，
所以＋＋…＋＝－a0，
再令x＝0可得a0＝1，因此＋＋…＋＝－1.
答案：C
二、填空题
7．解析：(1－)4(1＋)＝(1－x)(1－)3
设(1－)3的二项开放式的常数项为a，一次项的系数为b，
又Tr＋1＝C(－)r＝(－1)rCx，
∴a＝T1＝1，b＝T3＝(－1)2C＝3.
∴(1－)4(1＋)开放式中x的系数为－1＋3＝2.
答案： 2
解析：令x＝－2，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12＝28，令x＝－4，则a0－a1＋a2－…－a11＋a12＝0，相减得2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝28，所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＝27，所以log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝log227＝7.
答案：7
9．解析：由于二项开放式中共有12项，其通项公式Tr＋1＝C·(3)11－r·(－2)r＝
C·311－r·(－2)r·x，r＝0,1，…，11，其中只有当r＝3或r＝9时，才是有理项，
故P＝＝.
答案：
三、解答题
10．解：记f(x)＝，则有f(2)＝＝－1，f[f(2)]＝f(－1)＝，f()＝＝2，依题意得题中所给的程序图中输出的结果是数列2，－1，，2，－1，，…(注：该数列的项以3为周期重复消灭)的第2 011项，由于2 011＝3×670＋1，因此a＝2，二项式(a－)6，即(2－)6的开放式的通项是C·(2)6－r·(－)r＝C·26－r·(－1)r·x3－r.令3－r＝2得r＝1.所以，二项式(a－)6的开放式中含x2项的系数是C·26－1·(－1)1＝－192.
11．解：由题意知，第五项系数为C·(－2)4，
第三项的系数为C·(－2)2，
则有＝，
化简得n2－5n－24＝0，
解得n＝8或n＝－3(舍去)．
(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.
(2)通项公式Tr＋1＝C·()8－r·(－)r
＝C·(－2)r·x－2r，(r＝0,1，…，8)，
令－2r＝，则r＝1，
故开放式中含x的项为T2＝－16x.
12．解：(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0，
∴n＝7或n＝14.
当n＝7时，开放式中二项式系数最大的项是T4和T5，
∴T4的系数＝C()423＝，
T5的系数＝C()324＝70，
当n＝14时，开放式中二项式系数最大的项是T8.
∴T8的系数＝C()727＝3 432.
(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.
∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，
∵(＋2x)12＝()12(1＋4x)12，
∴
∴9.4<k<10.4，∴k＝10.
∴开放式中系数最大的项为T11，
T11＝C·()2·210·x10＝16 896 x10.