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秦安县第一中学2022—2021学年度高三级第三次检测考试
数 学 试 题（理科）
命题老师：胥同庆 董晓兵 王利民 审题老师：邵建平
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项符合题意）
1.设集合，则( )
A．[1,2) B．[1,2] C．(2,3] D．[2,3]
2.，那么= ( )
A. B. C. D.
3.已知方程，则1<k<3是该方程表示焦点在x轴上的椭圆的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数的单调递增区间是 （ ）
A. B. C. D.
5.知,不等式的解集为,则函数的图象为 ( )
6.已知数列，满足，, 则数列的前项的和为 （ ）
A. B. C. D.
7.已知直线与曲线在点处的切线垂直,则到直线的距离为
A. B. C. D.
8、关于函数，有下列命题:
① 其表达式可写成；
② 直线图象的一条对称轴；
③ 的图象可由的图象向右平移个单位得到；
④ 存在，使恒成立.
其中，真命题的序号是 （ ）
A．②③ B．①② C．②④ D．③④
9.设变量满足，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
10.若椭圆的离心率，右焦点为，方程的两个实数根分别是，则点到原点的距离为( )
A. B. C.2 D.
11.已知偶函数满足：，若函数，则的零点个数为 （ ）
A.1 B.3 C.2 D.4
12.已知过抛物线C： 的焦点F的直线m交抛物线于点M、N, ,则抛物线C的方程为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.过圆内一点的最长弦与最短弦所在直线方程分别为与，则实数= ;
14.两个正数的等差中项是3，一个等比中项是，且，则双曲线的离心率为 ;
15.定义是向量a和b的“向量积”，它的长度其中为向量和的夹角，若则= ．
16.给出命题：已知实数a、b满足，则.它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是_______．
三、解答题 (共6题,满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤)
17. (本小题满分10分)
已知圆C：,直线l：
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程
18.(本小题满分12分)
在中，角所对的边分别为，若且∥.
（1）求角的大小；
（2）求的最大值，并求取最大值时角的大小。
19. (本小题满分12分)
已知双曲线的方程是16x2－9y2=144
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小。
20.（本小题满分12分）
数列中，当时，其前项和为，满足
（1）求的表达式；
（2）设数列的前项和为，不等式对全部的恒成立,求正整数的最大值.
21．（本小题满分12分）
已知函数，其中a∈R.
(1)当时，求曲线在点处的切线的斜率；
(2)当时，求函数的单调区间与极值．
22．（本小题满分12分）
设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|＝2.求椭圆的方程．
秦安县第一中学2022—2021学年度高三级第三次检测考试
数学试题（理科）——参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项符合题意）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
D
B
D
D
C
A
A
B
C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．1或2 14. 15. 16. 1
三、解答题 (共6题,满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤)
17. （1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.∵m∈R，∴得 即l恒过定点A（3，1）
（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－， ∴l的方程为2x－y－5=0
18.解：（1）由且∥， 得
由正弦定理得 由于所以从而，
又所以则
（2）由（1）知，于是=
由于所以从而当即时，
取最大值2.综上所述，的最大值为2，此时
19. 解：（1）由16x2－9y2=144得－=1，∴a=3，b=4，c=5
F2（5，0），离心率e=，渐近线方程为y=±x
（2）||PF1|－|PF2||=6，cos∠F1PF2=
== =0，∴∠F1PF2=90°.
20. 解：（1）由于，所以
即 ① 由题意故①式两边同除以得，
所以数列是首项为公差为2的等差数列.
故所以
（2）
故≥
又∵ 不等式对全部的恒成立∴≥，
化简得：，解得：．∴正整数的最大值为6． ……12分
21. 解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e. …4分
(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a] ex
令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2， …6分
由a≠知，－2a≠a－2. 以下分两种状况争辩：
①若a>，则－2a<a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况如下表：
x
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
微小值
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数．
函数f(x)在x＝－2a处取得极大值为f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
函数f(x)在x＝a－2处取得微小值为f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2. …9分
②若a<，则－2a>a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况如下表：
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
微小值
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数．
函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
函数f(x)在x＝－2a处取得微小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a. …12分
22. (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)．由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.
又b2＝a2－c2，则＝. 所以，椭圆的离心率e＝.
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2. 故椭圆方程为＋＝1.
设P(x0，y0)．由F1(－c,0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．
由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①
由于点P在椭圆上，故＋＝1.② 由①和②可得3x＋4cx0＝0.
而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c，代入①得y0＝，即点P的坐标为.
设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，
所以圆的半径r＝＝c.
由已知，有|TF2|2＝|MF2|2＋r2，又|MF2|＝2，故有2＋2＝8＋c2，
解得c2＝3.所以，所求椭圆的方程为＋＝1.
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