2022届-数学一轮(理科)-北师大版-课时作业-第八章-立体几何-2-.docx

第2讲　空间图形的基本关系与公理

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c (　　)
A．肯定平行
B．肯定相交
C．肯定是异面直线
D．平行、相交、是异面直线都有可能
解析　当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．
答案　D
2．(2022·江西六校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，aα，aβ，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是 (　　)
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
解析　依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.
答案　D
3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (　　)
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
解析　当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面或平行，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点动身的三条棱，故D不正确．
答案　B
4．(2022·汉中调研)在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与 (　　)
A．AC，BD之一垂直 B．AC，BD都垂直
C．AC，BD都不垂直 D．AC，BD不肯定垂直
解析　连接AN，CN，∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，
∴△ABD≌△CDB，则AN＝CN，在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可证MN⊥BD.故选B.
答案　B
5．(2022·深圳调研)两条异面直线在同一个平面上的正投影不行能是 (　　)
A．两条相交直线 B．两条平行直线
C．两个点 D．一条直线和直线外一点
解析　如图，在正方体ABCD－EFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点，故选C.

答案　C
二、填空题
6．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．
解析　若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．
答案　1或4
7．假如两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．
解析　如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，由于各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排解两棱的重复计算，共有异面直线＝24(对)．

答案　24
8. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________．
解析　A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确．
答案　③④
三、解答题
9. 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
(1)证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解　由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．

10．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．

(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．
解　(1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S＝4，
所以，四棱锥O－ABCD的体积V＝×4×2＝.
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，

则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知，
可得DE＝，EM＝，MD＝，∵()2＋()2＝()2，
∴△DEM为直角三角形，
∴tan∠EMD＝＝＝.
故异面直线OC与MD所成角的正切值为.
力量提升题组

(建议用时：25分钟)
11. (2021·长春一模)一个正方体的开放图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中 (　　)

A．AB∥CD
B．AB与CD相交
C．AB⊥CD
D．AB与CD所成的角为60°
解析　如图，把开放图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项A，B，C不正确．图2中，BE∥CD，∠ABE为AB与CD所成的角，△ABE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，∴正确选项为D.

答案　D
12．(2022·北京西城区模拟)如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则 (　　)

A．EF与GH平行
B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D．EF与GH的交点M肯定在直线AC上
解析　依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．由于EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.由于点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，所以点M肯定在直线AC上．
答案　D
13．四棱锥P－ABCD的全部侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为________．
解析　由于四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为∠PAB.
在△PAB内，PB＝PA＝，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝＝＝.
答案　
14. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明　(1)连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面．

(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，
∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈CE，CE平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA.
∴CE，D1F，DA三线共点．