2021高考数学(文理通用)一轮阶段滚动检测2.docx

温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
阶段滚动检测(二)
第一～四章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(滚动单独考查)已知全集U={-2,-1,0,1,2},A={-2,-1},B={1,2},则
(A∪B)=(　　)
A.∅ B.{0}
C.{-1,1} D.{-2,-1,1,2}
2.(滚动交汇考查)命题∀x∈R,cosx≤1的真假推断及其否定是(　　)
A.真,∃x0∈R,cosx0>1
B.真,∀x∈R,cosx>1
C.假,∃x0∈R,cosx0>1
D.假,∀x∈R,cosx>1
3.(2022·温州模拟)一等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么顶角的余弦值
为(　　)
A.518 B.34 C.32 D.78
4.(2022·黄山模拟)在△ABC中,AB→=(cos18°,cos72°),BC→=(2cos63°,
2cos27°),则△ABC面积为(　　)
A.24 B.22 C.32 D.2
5.(滚动单独考查)已知函数f(x)=x+1,x>0,0,x=0,x-1,x<0,有下列说法:
①函数f(x)的定义域是R;
②函数f(x)是奇函数;
③函数f(x)在R上单调递增;
④函数f(x)的值域是{y|y∈R且y≠0}.
其中正确的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.若|a|=1,|b|=2,且a⊥(a-b),则向量a,b的夹角为(　　)
A.45° B.60° C.120° D.135°
7.假如函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,那么|φ|的最小值
为(　　)
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
8.(2022·丽水模拟)在△ABC中,P是BC边中点,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若cAC→+aPA→+bPB→=0,则△ABC的外形为(　　)
A.等边三角形 　　B.钝角三角形
C.直角三角形 　　D.等腰三角形但不是等边三角形
9.(2021·晋中模拟)对于集合{a1,a2,…,an}和常数a0,定义:ω=sin2(a1-a0)+sin2(a2-a0)+…+sin2(an-a0)n为集合{a1,a2,…,an}相对a0的“正弦方差”,则集合π2,5π6,7π6相对a0的“正弦方差”为(　　)
A.12 B.13 C.14 D.与a0有关的一个值
10.(2021·嘉兴模拟)函数y=sinωx(ω>0)的部分图象如图所示,点A,B是最高点,点C是最低点,若△ABC是直角三角形,则ω的值为(　　)

A.π2 B.π4 C.π3 D.π
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分.请把正确答案填在题中横线上)
11.(2022·台州模拟)△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(3c-b,a-b),n=(3a+3b,c),m∥n,则cosA=　　　　.
12.定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=2f(x),若当-1≤x≤0时,f(x)=x·(1+x),则当0≤x≤1时,f(x)=　　　　.
13.已知向量a=(1,1),a·b=3,|a+b|=13,则|b|=　　　　　.
14.(2022·宁波模拟)已知α∈R,sinα+2cosα=102,则tan2α=　　　　.
15.(滚动交汇考查)设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,f(2-x)=f(x+2),且当x∈[-2,0]时,f(x)=(12)x-1.若关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)在区间(-2,6]内恰有三个不同实根,则实数a的取值范围是　　　　.
16.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且对一切实数x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,则a与b的夹角为　　　　.
17.(2022·舟山模拟)下列命题中,正确的是　　　　.
①平面对量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+b|=7.
②已知a=(sinθ,1+cosθ),b=(1,1-cosθ),其中θ∈π,3π2,则a⊥b.
③O是△ABC所在平面上确定点,动点P满足:OP→=OA→+λAB→sinC+AC→sinB,
λ∈(0,+∞),则直线AP确定通过△ABC的内心.
三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(14分)已知OP→=(2,1),OA→=(1,7),OB→=(5,1),设R是直线OP上的一点,其中O是坐标原点.
(1)求使RA→·RB→取得最小值时OR→的坐标.
(2)对于(1)中的点R,求向量RA→与RB→夹角的余弦值.
19.(14分)已知α∈π2,π,且sinα2+cosα2=233.
(1)求cosα的值.
(2)若sin(α+β)=-35,β∈0,π2,求sinβ的值.
20.(14分)(2022·青岛模拟)已知△ABC的角A,B,C,所对的边分别是a,b,c,且C=π3,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).
(1)若m∥n,求B.
(2)若m⊥p,S△ABC=3,求边长c.
21.(15分)(2022·衢州模拟)已知向量m=3cosx4,cosx4,n=sinx4,cosx4,函数f(x)=m·n.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.
(2)在锐角△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acosC+12c=b,求f(2B)的取值范围.
22.(15分)(2022·沈阳模拟)在△ABC中,AB→·AC→=8,记∠BAC=θ,△ABC的面积为S,且满足4≤S≤43.
(1)求θ的取值范围.
(2)求函数f(θ)=23sin2π4+θ+2cos2θ-3的最大值和最小值.

答案解析
1.B　由题意,得A∪B={-2,-1,1,2},所以(A∪B)={0}.
2.A　由余弦函数的值域知该命题是真命题,其否定是∃x0∈R,cosx0>1.
3.D　设底边长为x,则两腰长为2x,则顶角的余弦值cosθ=(2x)2+(2x)2-x22×2x×2x=78.
4.B　由于AB→=(cos18°,sin18°),BC→=(2sin27°,2cos27°),
所以BA→=(-cos18°,-sin18°),
|BA→|=1,|BC→|=2,
故BA→·BC→
=-2sin27°cos18°-2cos27°sin18°
=-2sin(27°+18°)=-2sin45°=-2.
又BA→·BC→=|BA→||BC→|cosB=1×2cosB=-2,cosB=-22.
所以sinB=1-cos2B=22.
所以S△ABC=12|BA→|·|BC→|sinB
=12×1×2×22=22.
5.C　明显函数f(x)的定义域是R,所以①正确;
函数f(x)的图象如图,由图象可知,②,③正确,④错误.故选C.
6.A　依据题意,由于向量|a|=1,|b|=2,且a⊥(a-b),则a·(a-b)=0⇔a2-a·b=0,即a·b=1,故可知=cos<a,b>⇒cos<a,b>=22,故可知向量a,b的夹角为
45°,故选A.
7.A　由于函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,
所以2·4π3+φ=kπ+π2(k∈Z),
所以φ=kπ-13π6(k∈Z),
由此易得|φ|min=π6.
8.A　如图,由cAC→+aPA→+bPB→=0知c(PC→-PA→)+aPA→-bPC→=(a-c)PA→+(c-b)PC→= 0,而PA→与PC→为不共线向量,所以a-c=c-b=0,所以a=b=c.
9.A　集合π2,5π6,7π6相对a0的“正弦方差”ω=
sin2π2-a0+sin25π6-a0+sin27π6-a03
=cos2a0+sin2π6+a0+sin2π6-a03
=13×cos2a0+12cosa0+32sina0)2+12cosa0-32sina0)2
=cos2a0+12cos2a0+32sin2a03
=32(sin2a0+cos2a0)3=12.
10.A　由已知得△ABC是等腰直角三角形,且∠C=90°,所以12|AB|=ymax-ymin=1-(-1)=2,
即|AB|=4,而T=|AB|=2πω=4,
解得ω=π2,故选A.
11.【解析】由于m∥n,
所以(3c-b)·c=(a-b)(3a+3b),
即bc=3(b2+c2-a2),
所以b2+c2-a2bc=13,
所以cosA=b2+c2-a22bc=16.
答案：16
12.【解析】设0≤x≤1,则-1≤x-1≤0,
故f(x-1)=(x-1)[1+(x-1)]=
x·(x-1),又f(x-1)=2f(x),
所以f(x)=12f(x-1)
=12x·(x-1).
答案：12x·(x-1)
13.【解析】令|b|=x,由于|a|=2,由题意,得(a+b)2=13,2+6+x2=13,即x2=5.由于x≥0,所以x=5.
答案：5
14.【解析】由sinα+2cosα=102得sin2α+4cos2α+4sinα·cosα=52,即
sin2α+4cos2α+4sinα·cosα=52(sin2α+cos2α),两边同除以cos2α得3tan2α-8tanα-3=0,得tanα=3或tanα=-13,当tanα=3时,tan2α=2tanα1-tan2α=2×31-32=-34;
当tanα=-13时,tan2α=2tanα1-tan2α=2×-131--132=-34.
综上tan2α=-34.
答案：-34
15.【思路点拨】依据函数的性质,结合图象解题.
【解析】由f(2-x)=f(x+2)可知函数周期为4,方程f(x)-loga(x+2)=0在区间(-2,6]内恰有三个不同实根等价于函数y=f(x)与函数y=loga(x+2)(a>1)的图象在区间(-2,6]内恰有三个不同的交点,如图,需满足f(2)=f(-2)=3>loga4且loga8>f(6)=f(2)=f(-2)=3,解得34<a<2.

答案：(34,2)
16.【思路点拨】不等式两边平方,把其转化为关于x的一元二次不等式恒成立问题,并由此得到解答.
【解析】设向量a与b的夹角为θ,
则由|a+xb|≥|a+b|,
得(a+xb)2≥(a+b)2,
由于|a|=2,|b|=1,
所以2+2xa·b+x2≥2+2a·b+1,
即x2+2a·bx-1-2a·b≥0对一切实数x恒成立.
所以Δ=4(a·b)2-4(-1-2a·b)
≤0,
即(a·b)2+2a·b+1≤0,
(a·b+1)2≤0,
所以a·b=-1,
即2cosθ=-1,cosθ=-22,
由于θ∈[0,π],所以θ=34π.
答案：34π
17.【解析】①中,|a|=2,
所以a·b=|a||b|cos60°=2×12=1,
所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=4+1+2=7,所以|a+b|=7,正确.②中,a·b=
sinθ+1+cosθ1-cosθ=sinθ+(1+cosθ)(1-cosθ),
即a·b=sinθ+1-cos2θ=sinθ+
|sinθ|,由于θ∈π,3π2,所以sinθ<0,所以a·b=sinθ+|sinθ|=sinθ-
sinθ=0,即a⊥b,正确.③中,依据正弦定理可知ABsinC=ACsinB=2R,所以sinC=AB2R,sinB=AC2R,
即λAB→sinC+AC→sinB
=2RλAB→AB+AC→AC,
即OP→-OA→=2RλAB→AB+AC→AC=AP→,即AP→与∠BAC的平分线共线,所以直线AP确定通过△ABC的内心,正确,所以正确的命题为①②③.
答案：①②③
18.【解析】(1)由题意,设OR→=tOP→=(2t,t),则RA→=OA→-OR→=(1-2t,7-t),
RB→=OB→-OR→=(5-2t,1-t).
所以RA→·RB→
=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)
=5t2-20t+12
=5(t-2)2-8,
所以当t=2时,RA→·RB→最小,
即OR→=(4,2).
(2)设向量RA→与RB→的夹角为θ,
由(1)得RA→=(-3,5),
RB→=(1,-1),
所以cosθ=RA→·RB→|RA→||RB→|
=-3-59+25·2=-41717.
19.【解析】(1)由于sinα2+cosα2=233,
所以1+2sinα2cosα2=43,
sinα=13.
由于α∈π2,π,
所以cosα=-1-sin2α
=-1-19
=-223.
(2)由于α∈π2,π,β∈0,π2,
所以α+β∈π2,3π2,
又sin(α+β)=-35,
得cos(α+β)=-45.
所以sinβ=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)·cosα-cos(α+β)·sinα
=-35×-223--45×13=62+415.
20.【解析】(1)由于m∥n,
所以asinA=bsinB.
由正弦定理,得a2=b2即a=b,
又由于c=π3,
所以△ABC为等边三角形,B=π3.
(2)由题意可知m·p=0,
即a(b-2)+b(a-2)=0,
所以a+b=ab.
由S△ABC=3,得12absinC=3.
由于C=π3,所以sinC=32.
所以ab=4.
所以c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=16-12=4,所以c=2.
【方法技巧】解决三角函数问题的答题技巧
(1)变角:要将所给的角尽可能地化成同名、同角、特殊角来处理.
(2)变名:尽可能地削减函数名称.
(3)变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.
(4)在解决求值、化简、证明等问题时,要留意观看条件中的角、函数名与所求(或证明)的问题中的整体形式的差异,再选择适当的公式进行求解.
21.【解析】f(x)=3sinx4cosx4+
cos2x4=32sinx2+12cosx2+12
=sinx2+π6+12.
(1)函数f(x)的最小正周期为T=2π12=4π,
由π2+2kπ≤x2+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,得2π3+4kπ≤x≤8π3+4kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递减区间为2π3+4kπ,8π3+4kπ(k∈Z).
(2)方法一:在锐角△ABC中,
由acosC+12c=b可得
a·a2+b2-c22ab+12c=b,
即b2+c2-a2=bc,
所以cosA=b2+c2-a22bc=12,
得A=π3,B+C=2π3.
又B,C为锐角,所以B∈π6,π2,
所以sinB+π6∈32,1,
所以f(2B)=sinB+π6+12的取值范围是3+12,32.
方法二:在锐角△ABC中,由acosC+12c=b可得sinAcosC+12sinC=
sinB,从而sinAcosC+12sinC=
sin(A+C),化简得12sinC=
sinCcosA.
又由于sinC≠0,所以cosA=12,
得A=π3,B+C=2π3.
以下同方法一.
22.【解析】(1)由AB→·AC→=8,
得|AB→|·|AC→|cosθ=8.
由于4≤12|AB→|·|AC→|sinθ≤43,
所以1≤tanθ≤3.又θ∈(0,π),
故θ的取值范围为π4,π3.
(2)留意到f(θ)=
31-cosπ2+2θ+(1+cos2θ)-3=3sin2θ+cos2θ+1
=2sin2θ+π6+1.
由于π4≤θ≤π3,
所以2π3≤2θ+π6≤5π6.
故当2θ+π6=2π3,
即θ=π4时,f(θ)max=3+1.
当2θ+π6=5π6,
即θ=π3时,f(θ)min=2.
【加固训练】已知在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,S是该三角形的面积,若向量m=(2sinB,cos2B),n=2cos2π4+B2,-1,且m·n=3-1.
(1)求角B的大小.
(2)若B为锐角,a=6,S=63,求b的值.
【解析】(1)由m·n=3-1,
得4sinBcos2π4+B2-cos2B
=3-1,
所以4sinB·1+cosπ2+B2-1+2sin2B=3-1,
所以2sinB-1=3-1,
所以sinB=32,
所以B=π3或B=2π3.
(2)由于B为锐角,所以B=π3.
由a=6,S=63,
得12ac×32=63,所以c=4.
由b2=a2+c2-2accosπ3
=36+16-2×6×4×12=28,
所以b=28=27.
关闭Word文档返回原板块