2021版《·讲与练》高中数学北师大版必修五：课时作业9-等比数列的前n项和.docx

课时作业9　等比数列的前n项和
时间：45分钟　　满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为(　　)
A．81　　　　　　　　 B．120
C．168 D．192
【答案】　B
【解析】　＝27＝q3，q＝3，
a1＝＝3，S4＝＝120.
2．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，则f(n)等于(　　)
A.(8n－1) B.(8n＋1－1)
C.(8n＋3－1) D.(8n＋4－1)
【答案】　D
【解析】　依题意f(n)为首项为2，公比为8的等比数列前n＋4项的和，依据等比数列的求和公式计算可得．
3．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为(　　)
A．514 B．513
C．512 D．510
【答案】　D
【解析】　∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，
∴a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，
∴＝，即＝，
∴2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或(舍去)，
∴a1＝2，
∴S8＝＝510.
4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】　B
【解析】　∵S3＝S2＋a3,3S3＝a4－2，
∴3S3＝3(S2＋a3)＝a4－2，
∵3S2＝a3－2，
∴a3－2＋3a3＝a4－2，
∴4a3＝a4，∴q＝＝4.选B.
5．数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则公比q的值为(　　)
A．－ B.
C．1或－ D．－1或
【答案】　C
【解析】　∵S3＝3a3，∴a1＋a2＋a3＝3a3，∴a1＋a2＝2a3，
∴a1＋a1q＝2a1q2即2q2－q－1＝0，
∴q＝1或－.
6．(2021·新课标Ⅰ文)设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)
A．Sn＝2an－1
B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an
D．Sn＝3－2an
【答案】　D
【解析】　本题考查等比数列前n项和Sn与通项an之间的关系，由题意得，an＝()n－1，Sn＝＝＝3－2an，选D，熟记公式是解答此类问题的关键．
7．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　)
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.
【答案】　C
【解析】　由条件先求公比q，再由等比数列的前n项和公式求解．
∵＝q3＝，∴q＝，∴a1＝4，∴an·an＋1＝4n－1·4·n＝25－2n，故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n＝＝(1－4－n)．
二、填空题(每小题5分，共15分)
8．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.
【答案】　4n－1
【解析】　设前三项为，a，aq，
∴＋a＋4a＝21，
∴a＝4，an＝4·4n－2＝4n－1.
9．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
【答案】　3
【解析】　设公比为q，由S6＝4S3知q≠1，由S6＝4S3得
＝4·，得q3＝3.
∴a4＝1×q3＝1×3＝3.
10．(2021·辽宁文)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
【答案】　63
【解析】　本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式，由x2－5x＋4＝0的两根为1和4，又{an}为递增数列，∴a1＝1，a3＝4，q＝2，∴S6＝＝63.
三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(15分)在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.
【解析】　解法一：由已知S6≠2S3，
则q≠1，又S3＝，S6＝，
即
②÷①得1＋q3＝9，所以q＝2.
可求出a1＝，因此an＝a1qn－1＝2n－2.
解法二：已知等比数列{an}中Sm与Sn，求q，还可利用性质Sn＋m＝Sn＋qnSm转化为qn＝求得，
即q3＝＝＝8，
∴q＝2，再代入S3＝求得a1＝.
∴an＝a1qn－1＝2n－2.
【点评】　使用等比数列的前n项和公式要留意公比q＝1和q≠1状况的区分，而在解方程组的过程中，一般接受两式相除的方法．
12．(15分)设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．
【解析】　由题设知a1≠0，q≠1，故

由②得1－q4＝5(1－q2)，(q2－4)(q2－1)＝0，(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0，
由于q<1，解得q＝－1或q＝－2.
当q＝－1时，代入①得a1＝2，通项公式an＝2×(－1)n－1；
当q＝－2时，代入①得a1＝，通项公式an＝×(－2)n－1.
【点评】　给出“知三求二”型等比数列问题，解决时要留意适当选用公式，以提高解题速度．抓住首项与公比是解决这类等比数列问题的关键所在．
13．(20分)已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝anxn(x∈R)，求数列{bn}的前n项和．
【解析】　(1)设{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12，
又a1＝2，∴d＝2，∴an＝2n.
(2)Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2x＋4x2＋…＋(2n－2)xn－1＋2nxn.①
xSn＝2x2＋4x3＋…＋(2n－2)xn＋2nxn＋1.②
当x≠1时，①－②得
(1－x)Sn＝2(x＋x2＋…＋xn)－2n·xn＋1＝－2nxn＋1，∴Sn＝－，
当x＝1时，Sn＝2＋4＋…＋2n＝n(n＋1)．
综上，Sn＝