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【名师面对面】2022届数学一轮学问点讲座：考点33 椭圆
加（*）号的学问点为了解内容，供学有余力的同学学习使用
一.考纲目标
椭圆的定义、标准方程、几何性质；椭圆的几何性质及其应用，椭圆方程的求法。
二.学问梳理
1.椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．椭圆的标准方程：， （）
3．椭圆的性质：由椭圆方程()
(1)范围: ,，椭圆落在组成的矩形中．
(2)对称性:图象关于轴对称．图象关于轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．轴、轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点： ，加两焦点共有六个特殊点叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴．长分别为 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点
(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比
椭圆外形与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例
4（*）.椭圆的其次定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆,其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率
椭圆的其次定义与第肯定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式
5（*）．椭圆的准线方程
对于，左准线；右准线
对于，下准线；上准线
焦点到准线的距离（焦参数）
椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称
6（*）．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率,焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中分别是椭圆的下上焦点）
焦半径公式的两种形式的区分只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关,可以记为：左加右减，上减下加
7（*）.椭圆的参数方程
三.考点逐个突破
1.椭圆的标准方程
例1.（1）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] D
[解析] 2a＝12，∴a＝6，∵e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选D.
（2）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1
[答案] A
[解析] 由x2＋y2－2x－15＝0得，(x－1)2＋y2＝16，
∴r＝4，∴2a＝4，∴a＝2，
∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.故选A.
2.椭圆的定义
例2. （1）已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
[答案] B
[解析] 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，
∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．
（2）已知F1、F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋y2＝1(y≠0)
C.＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0)
[答案] C
[解析] 椭圆C：＋＝1中，a2＝4，b2＝3，
∴c2＝a2－b2＝1，∴焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，
设G(x，y)，P(x1，y1)，则，∴，
∵P在椭圆C上，∴＋＝1，∴＋3y2＝1.
当y＝0时，点G在x轴上，三点P、F1、F2构不成三角形，
∴y≠0，∴点G的轨迹方程为＋3y2＝1.(y≠0)．
3.椭圆的离心率
例3.(1)个正数a、b的等差中项是，等比中项是 ，且a>b，则椭圆＋＝1的离心率e等于
A. B. C. D.
[答案] C
[解析] 由题意可知又由于a>b，
所以解得所以椭圆的半焦距为c＝，
所以椭圆的离心率e＝＝，故选C.
(2)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，若·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为________．
[答案]
[解析] ∵·＝0，∴PF1⊥PF2，在Rt△PF1F2中，tan∠PF1F2＝＝，
设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a，∴x＝，
∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴x2＋4x2＝4c2，
∴a2＝4c2，∴e＝＝.
(3) 已知＋＝1(m>0，n>0)，则当mn取得最小值时，椭圆＋＝1的离心率是________．
[答案] [解析] ∵m>0，n>0∴1＝＋≥2，
∴mn≥8，当且仅当＝，即n＝2m时等号成立，
由解得m＝2，n＝4.
即当m＝2，n＝4时，mn取得最小值8，∴离心率e＝＝.
4.椭圆中的最值问题
例4.直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．
[答案]
[解析] 设与l平行的直线方程为x－y＋a＝0，当此直线与椭圆的切点为C时，△ABC的面积最大，将y＝x＋a代入＋y2＝1中整理得，3x2＋4ax＋2(a2－1)＝0，由Δ＝16a2－24(a2－1)＝0得，a＝±，两平行直线x－y＝0与x－y＋＝0的距离d＝，将y＝x代入＋y2＝1中得，x1＝－，x2＝，
∴|AB|＝|－(－)|＝，
∴S△ABC＝|AB|·d＝××＝.
5.椭圆与其他学问的综合
例5.（1）已知实数k使函数y＝coskx的周期不小于2，则方程＋＝1表示椭圆的概率为________．
[答案]
[解析] 由条件≥2，∴－π≤k≤π，当0<k≤π且k≠3时，方程＋＝1表示椭圆，
∴概率P＝.
(2) 已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
[解析] (1)由已知得，c＝2，＝，解得a＝2，
又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E (x0，y0)，则
x0＝＝－，
y0＝x0＋m＝.
由于AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k＝＝－1.
解得m＝2，此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0，
所以y1＝－1，y2＝2，所以|AB|＝3，
此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.
(3) P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则·等于( )
A．3 B. C．2 D．2
[答案] D
[解析] 由题意可得|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝4，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60°
＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，
所以4＝42－3|PF1||PF2|，|PF1||PF2|＝4，
·＝||||·cos60°＝4×＝2，故选D.
6.综合运用
例6. (1)已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足＋＝t(O为坐标原点)，当|－|<时，求实数t的取值范围．
[解析] (1)由题意知：e＝＝，
∴e2＝＝＝，∴a2＝2b2.
又∵圆x2＋y2＝b2与直线x－y＋＝0相切，
∴b＝1，∴a2＝2，
故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则其方程为：y＝k(x－2)．
由消去y得，(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)>0，∴k2<.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＋＝t，∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，x＝＝，y＝＝[k(x1＋x2)－4k]＝.
∵点P在椭圆上，∴＋2＝2，
∴16k2＝t2(1＋2t2)．
∵|－|<，∴|x1－x2|<，
∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<，
即(1＋k2)[－4·]<，
∴(4k2－1)(14k2＋13)>0，解得：k2>，∴<k2<.
又16k2＝t2(1＋2k2)，∴t2＝＝8－，
∴<t2<4，∴－2<t<－或<t<2.
故实数t的取值范围是(－2，－)∪(，2)．
(2) 已知椭圆G的方程为＋＝1(a>b>0)，它与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，点D(0,4)，若·＝－3，||＝2.
(1)求椭圆G的方程；
(2)过点D的直线l交椭圆G于M，N两点，若∠NMO＝90°，求|MN|的长．
[解析] (1)∵A(－a,0)、B(a,0)、D(0,4)、C(0，b)，
·＝－3，||＝2，
∴，
∴a2＝4，b2＝1，∴椭圆G的方程为＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，则有⇒x1＝±，y1＝，
∴直线l的斜率k＝±
则直线l的方程为y＝±x＋4，
由⇒21x2±32x＋60＝0，
∴x1＋x2＝±，x1x2＝.
∴|MN|＝＝.
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