天津版2022届高三上学期第二次月考-数学(理)-Word版含答案.docx

其次次月考数学理试题【天津版】

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
祝各位考生考试顺当！
第Ⅰ卷 选择题 (共40分)
留意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
参考公式：
·假如大事、互斥，那么
柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数满足,则=

2.已知实数满足约束条件,则的最大值为
A． B． C． D．

3.若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是, 则输入的的值
可以等于 A. 　B. 　 　C. 　　 D.

4.一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．
则该四棱锥的体积等于
A. B． C． D．

5.已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离
为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为
A． B． C． D．

6.数列满足，且对于任意的都有则等于 A． B． C． D．

7.已知以下4个命题:
①若为真命题，则为真命题
②若则
③设，则是成立的充分不必要条件
④若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是.
其中,正确命题的个数是
A. 　 　B. 　 　C. 　　 D.

8．定义域为的函数满足，当时，
，若时，恒成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.

2021年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）
数 学(理)
第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.
9.某中学有高中生3500人，学校生1500人，为了解同学的学习状况，用分层抽样的方法从该校同学中抽取一个容量为的样本，若从学校生中抽取了30人，则的值等于      .

10. 已知，在二项式的开放式中，含的项的系数为   　.

11. 已知中,，，
，则.

12. 如图,是圆的内接三角形，是圆的切线，为切点，
交于点，交圆于点，若，，
且，，则＝______.

13．在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲
线的极坐标方程为, 曲线的参数方程为
（为参数）. 若曲线与相交于两点，则线段的长等于　　.

14. 已知为的外心，若，
则的最小值为　　　 ．

三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期与单调递减区间；
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值．

16．（本小题满分13分）
某银行聘请，设置了、、三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参与聘请，经抽签打算甲、乙两人各自独立参与组测试，丙独自参与组测试，丁、戊两人各自独立参与组测试．若甲、乙两人各自通过组测试的概率均为；丙通过组测试的概率为；而组共设6道测试题，每个人必需且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.
（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.
（Ⅱ）记、两组通过测试的总人数为，求的分布列和期望.

17．（本小题满分13分）
如图，三棱柱中，⊥面，
，，为的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得
？请证明你的结论.

18．（本小题满分13分）
已知椭圆的左、右顶点分别为,，右焦点为，直线是椭圆在点处的切线. 设点是椭圆上异于，的动点，直线与直线的交点为，且当时，是等腰三角形.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设椭圆的长轴长等于，当点运动时，试判
断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．

19．（本小题满分14分）
设数列，，已知，，，（）．
（Ⅰ）设,求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任意，为定值；
（Ⅲ）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．

20．（本小题满分14分）
已知函数，，图象与轴异于原点的交点为，在处的切线与直线平行.
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)已知实数t∈R，求函数的最小值；
(Ⅲ）令，给定，对于两个大于1的正数，
存在实数满足：，，并且使得不等式
恒成立，求实数的取值范围.

参考答案
一、选择题:每小题5分，满分40分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
A
A
C
B
A
二、填空题: 每小题5分，共30分.

9．100 ； 10．； 11．； 12．； 13．8； 14．

三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期与单调递减区间；
(Ⅱ) 求函数在区间上的最大值和最小值．
15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） ……1分
…………2分
…………4分
∴的最小正周期 ……………5分
由得
∴的单调递减区间为 ……………7分
（Ⅱ）由得 ………9分
故 ………11分
所以 ………12分
因此,的最大为, 最小值是2 ……13分
解法二: 在区间上单调递增; 在区间上单调递减………11分
又
所以的最大为, 最小值是2 ………13分

16．（本小题满分13分）
某银行聘请，设置了、、三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参与聘请，经抽签打算甲、乙两人各自独立参与组测试，丙独自参与组测试，丁、戊两人各自独立参与组测试．若甲、乙两人各自通过组测试的概率均为；丙通过组测试的概率为；而组共设6道测试题，每个人必需且只能从中任选4题作答，至少 答对3题者就竞聘成功. 但丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.
（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.
（Ⅱ）记、两组通过测试的总人数为，求的分布列和期望.
16.解：（Ⅰ）设参与组测试的每个人竞聘成功为A大事，则
…………3分
故丁、戊都竞聘成功的概率等于 …………5分
（Ⅱ）可取0，1，2，3， …………6分
，
，
，
， （每个结果各1分） …………10分

0
1
2
3

P

故的分布列为：
…………11分
A1
A
C1
z
x
y
C
B1
B
D
所以 …………13分

17．（本小题满分13分）如图，三棱柱
中，⊥面，，
，为的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得
？请证明你的结论.
17.（本小题满分13分）
解法一: （Ⅰ）证明：依题可建立如图的空间直角坐标系，………1分
则C1（0，0，0），B（0，3，2），B1（0，0，2），
C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）， ………2分
设是面BDC1的一个法向量，则
即，取. …………4分
又,所以,即
∵AB1面BDC1，∴AB1//面BDC1． …………6分
（Ⅱ）易知是面ABC的一个法向量. …………7分
. …………8分
∴二面角C1—BD—C的余弦值为. …………9分
（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.
设P（2，y，0）（0≤y≤3），则 ， …………10分
则，即. …………11分
解之∴方程组无解. …………12分
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1. …………13分
解法二: （Ⅰ）证明：连接B1C,与BC1相交于O，连接OD．
∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点． …………1分
又D是AC的中点，∴OD//AB1． …………2分
∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1． …………4分
（Ⅱ）解，， ………5分
设是面BDC1的一个法向量，则
即，取. …………6分
易知是面ABC的一个法向量. …………7分
. …………8分
∴二面角C1—BD—C的余弦值为. …………9分
（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.
设P（2，y，0）（0≤y≤3），则 ， …………10分
则，即. …………11分
解之∴方程组无解. …………12分
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1. …………13分

18．（本小题满分13分）已知椭圆的左、右顶点分别为,，右焦点为，直线是椭圆在点处的切线. 设点是椭圆上异于，的动点，直线与直线的交点为，且当时，是等腰三角形.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设椭圆的长轴长等于，当点运动时，试推断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．
18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）依题可知、， ………1分
由，得，， ………2分
化简得， ………3分
故椭圆的离心率是 ………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及椭圆的长轴长等于得，
椭圆的方程为，且,
在点处的切线方程为. 以为直径的圆与直线相切． ……5分
证明如下：由题意可设直线的方程为.
则点坐标为，中点的坐标为．
由得．…………………7分
设点的坐标为，则．
所以，． …………………9分
由于点坐标为，
（1）当时，点的坐标为，直线的方程 为，
点的坐标为.此时以为直径的圆与直线相切…10分
（2）当时，直线的斜率.
所以直线的方程为,即．
故点到直线的距离………12分
(算法二: 或直线的方程为,
故点到直线的距离…12分)
又由于 ，故以为直径的圆与直线相切．
综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．……13分

解法二: 由（Ⅰ）及椭圆的长轴长等于得，
椭圆的方程为，且,
在点处的切线方程为. 以为直径的圆与直线相切． ……5分
证明如下: 设点,则
(1)当时,点点的坐标为，直线的方程为， ……6分
点的坐标为.此时以为直径的圆与直线相切…7分
(2)当时直线的方程为, …8分
点的坐标为,中点的坐标为,故…9分
直线的斜率为,
故直线的方程为,即,………10分
所以点到直线的距离………12分
故以为直径的圆与直线相切．
综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．………13分

19．（本小题满分14分）设数列，，已知，，，（）． （Ⅰ）设,求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任意，为定值；
（Ⅲ）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．
19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）所以，，
,即，　　……………………2分
又, 故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以． …………………………………………………4分
（Ⅱ）解：，
所以，………………………………6分
而，所以由上述递推关系可得，当时，恒成立，
即恒为定值8． ……………………8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，所以，…9分
所以， ……………10分
所以，
由得，
由于，所以， ………………11分
当为奇数时，随的增大而增大，且，
当为偶数时，随的增大而减小，且，
所以，的最大值为，的最小值为．……………13分
由，得，解得．
所以，所求实数的取值范围是．……………………………………14分

20．（本小题满分14分）已知函数，，图象与轴异于原点的交点处的切线与直线平行.
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)已知实数t∈R，求函数的最小值；
(Ⅲ）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.
20. （本小题满分14分）
(Ⅰ)解:点， ，由题意可得，故，……1分
∴ ， ……………2分
令，得的增区间是； ………………3分
令，得的减区间是； ……………4分
(Ⅱ)解法一：令，（），
则， …………………………5分
∴在单调递增，故当时， ……………6分
由于在上单调递减，在上单调递增，
故可分以下种情形争辩
（1）当即时在上单减，
所以的最小值是 ………………7分
（2）当即时的最小值是，…8分
（3）当时在上单增，
所以的最小值是 ………9分

解法二：=…5分
令，在 时，，
∴在单调递增， ……………6分
图象的对称轴，抛物线开口向上
①当即时， ……………7分
②当即时， ………8分
③当即时，
……………9分
（Ⅲ）
所以在区间上单调递增 　　 ……………………10分
∴时，,留意到
①当时，有，
，
得，同理，　　 …………………11分
∴ 由的单调性知 ,
从而有，符合题设. …………12分
②当时，，
，
由的单调性知 ，
∴，与题设不符 ………………13分
③当时，同理可得，
得，与题设不符.
∴综合①、②、③得 ………………14分
说明：各题如有其它解法，依据相应的步骤给分.