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4 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(四)
一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)
1. 已知集合A＝，B＝，则A∪B等于( )
A. B. C. D.
2. 已知集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{x|<0}，则A∩B等于( )
A. －1 B. C. (－∞，0) D.
3. 等差数列{an}中，a7＋a9＝16，则a8＝( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
4. “sin A＝”是“∠A＝30°”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个相交平面的位置关系是( )
A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 平行或相交
6. 函数f(x)＝2x2＋1( )
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数
7. 过点A(0，1)且与直线y＝2x－5平行的直线的方程是( )
A. 2x－y＋1＝0 B. 2x－y－1＝0 C. x＋2y－1＝0 D. x＋2y＋1＝0
8. 在空间中，下列命题正确的是( )
A. 平行于同一平面的两条直线平行 B. 平行于同始终线的两个平面平行
C. 垂直于同始终线的两条直线平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行
9. 已知a，b∈R＋，且ab＝1，则a＋b的最小值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(第10题)
10. 如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列推断错误的是( )
A. ＝ B. ∥
C. ＝ D. ＝
11. 已知向量a＝(3，－1)，b＝(－1，2)，则2a－b＝( )
A. (7，0) B. (5，0)
C. (5，－4) D. (7，－4)
12. “x＝0”是“xy＝0”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
13. 焦点为(1，0)的抛物线的标准方程是( )
A. y2＝2x B. x2＝2y C. y2＝4x D. x2＝4y
14. 不等式(x＋1)(x＋2)<0的解集是( )
A. B.
C. D.
15. 下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是( )
A. y＝－x＋1 B. y＝ C. y＝ D. y＝1－x2
16. 数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an，则a4＝( )
A. B. C. D.
17. 双曲线－＝1的离心率是( )
A. B. C. D.
18. 若α∈(0，)，且sin α＝，则cos 2α等于( )
A. B. － C. 1 D.
19. 若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A. －1或 B. 1或3 C. －2或6 D. 0或4
20. 已知直线l：ax＋by＝1，点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝1外，则直线l与圆C的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
21. 函数y＝2sin(－x)，x∈[，]的最小值和最大值分别是( )
A. －和1 B. －1和2 C. 1和3 D. 1和2
22. 若k<2且k≠0，则椭圆＋＝1与＋＝1有( )
A. 相等的长轴 B. 相等的短轴 C. 相同的焦点 D. 相等的焦距
23. “a2＋b2>0”是“ab≠0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
24. 若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是( )
①≥ab；②≤；③≥；④＋≥2.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
25. 在60°的二面角α－l－β，面α上一点到β的距离是2 cm，那么这个点到棱的距离为( )
A. cm B. 2 cm C. 4 cm D. cm
二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
26. 已知a＝(2，5)，b＝(λ，－3)，且a⊥b，则λ＝________．
27. 不等式>0的解集________．
28. 函数y＝2sin x·cos x－1，x∈R的值域是________．
29. 已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．
30. 给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝为闭集合；②集合A＝为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________．
三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)
31. (本题7分)△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝2a.
(1)求；(2)若c＝a，求∠C.
32. (本题7分，有A、B两题，任选其中一题完成，两题都做，以A题计分)
[第32题(A)]
(A)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E，F分别是PC，AB的中点，平面PAD ⊥ 底面ABCD.
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：AB⊥平面PAD.
(B)如图，四边形DCBE为直角梯形，∠DCB＝90°，DE∥CB，DE＝1，BC＝2，CD＝AC＝1，∠ACB＝120°，CD⊥AB，直线AE与直线CD所成角的大小为60°.
[第32题(B)]
(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；
(2)求BE与平面ACE所成角的正弦值．
4 2022高中学业水平考试《数学》模拟试卷(四)
1. C 2. B 3. C 4. B 5. C 6. B 7. A
8. D 9. B 10. D 11. D 12. B 13. C 14. A
15. D 16. C 17. D 18. B 19. D 20. A
21. A 22. D 23. B
24. C [提示：①明显成立，② a2＋b2≥2ab⇒2(a2＋b2)≥(a＋b)2⇒≤，③④由于a，b正负未确定不能得出．]
25. A [提示：构造直角三角形，得到棱的距离等于＝.]
26. 27. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 28. [－2，0]
29. 4或－ [提示：当0<k＋8<9时，＝＝，解得k＝－；当k＋8>9时，＝＝，解得k＝4.]
30. ② [提示：①2＋4＝6∉A，所以A不是闭集合；②中A是闭集合，证明：设a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，则a＋b＝3(k1＋k2)∈A，a－b＝3(k1－k2)∈A，所以A是闭集合；③中A 不是闭集合．]
31. 解：(1)asin Asin B＋bcos2A＝2a⇒ sin2Asin B＋sin Bcos2A＝2sin A⇒ sin B＝2sin A⇒＝2. (2)cos C＝＝，∴∠C＝.
32. (A)证明：(1)取PD的中点G，连接EG，AG，则EG綊AF，∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG，所以EF∥平面PAD. (2)∵平面PAD⊥底面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.
(第32题)
(B)证明：(1)∵CD⊥AB，CD⊥CB，∴CD⊥平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC. (2)在平面ACB内，过C作CF⊥CB，以C为原点，以CF，CB，CD所在射线为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系．∴＝(0，1，1)，＝(，－，0)，＝(0，－1，1)，设平面ACE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝，得n＝(，3，－3)，设BE与平面ACE所成角为θ，则sin θ＝＝，∴BE与平面ACE所成角的正弦值为.
33. 解：(1)a1a4＝13，a2＋a3＝14⇒a1＝1，a4＝13⇒d＝4⇒an＝4n－3.
(2)Sn＝＝2n2－n⇒bn＝＝2n，∴f(n)＝＝＝≤，当且仅当n＝6时取到最大值．
(第34题)
34. 解：(1)由题意，可设拋物线C的标准方程为y2＝2px.由于点A(2，2)在拋物线C上，所以p＝1.因此，拋物线C的标准方程为y2＝2x. (2)由(1)可得焦点F的坐标是(，0)，又直线OA的斜率为＝1，故与直线OA垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x＋y－＝0. (3)法一：设点D和E的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，直线DE的方程是y＝k(x－m)，k≠0.将x＝＋m代入y2＝2x，有ky2－2y－2km＝0，解得y1，2＝.由ME＝2DM知1＋＝2(－1)．化简得k2＝.因此DE2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋)(y1－y2)2＝(1＋)＝(m2＋4m)．所以f(m)＝(m>0)．法二：设D(，s)，E(，t)．由点M(m，0)及＝2，得t2－m＝2(m－)，t－0＝2(0－s)．因此t＝－2s，m＝s2.所以f(m)＝DE＝ ＝(m>0)．
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