资源描述
1．函数y＝的定义域为( )
A.
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D．R
解析：选C.∵cos x－≥0，得cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
2．函数f(x)＝(1＋sin x)(sin2x＋cos2x－sin x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的奇函数
D．最小正周期为2π的偶函数
解析：选B.f(x)＝(1＋sin x)(1－sin x)＝1－sin2x＝cos2x＝cos 2x＋，所以f(x)是最小正周期为π的偶函数．
3．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．－1－ B．－1
C．0 D．2－
解析：选D.∵0≤x≤9，∴－≤－≤，
∴sin∈.
∴y∈[－，2]，∴ymax＋ymin＝2－.
4．假如函数y＝3sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.依题意得，sin＝±1，则＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)，因此|φ|的最小值是.
5．(2022·高考安徽卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝( )
A. B.
C．0 D．－
解析：选A.∵f(x＋π)＝f(x)＋sin x，
∴f(x＋2π)＝f(x＋π)－sin x.
∴f(x＋2π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)．
∴f(x)是以2π为周期的周期函数．
又f＝f＝f，
f＝f＋sin，
∴f＝f－.
∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f＝0，
∴f＝f＝.故选A.
6．比较大小：sin________sin.
解析：由于y＝sin x在上为增函数且－＞－，故sin＞sin.
答案：＞
7．(2022·高考山东卷)函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．
解析：∵y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，∴函数的最小正周期T＝＝π.
答案：π
8．函数y＝2sin－1，x∈的值域为________，并且取最大值时x的值为________．
解析：∵0≤x≤，∴≤2x＋≤π，
∴0≤sin≤1，
∴－1≤2sin－1≤1，即值域为[－1，1]，且当sin＝1，即x＝时，y取最大值．
答案：[－1，1]
9．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x.
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标．
解：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)．
(1)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得，
kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
(2)由sin(2x＋)＝0，得2x＋＝kπ(k∈Z)，
即x＝－(k∈Z)．
∴f(x)图象上与原点最近的对称中心坐标是(－，0)．
10．(2022·高考天津卷)已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.
解：(1)由已知，有
f(x)＝cos x·－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由于f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数．
f＝－，f＝－，f＝，
所以，函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.
1．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上是单调减函数，且函数值从1削减到－1，则f＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选C.由题意得函数f(x)的周期T＝2＝π，所以ω＝2，此时f(x)＝sin(2x＋φ)，将点代入上式得sin＝1，所以φ＝，
所以f(x)＝sin，
于是f＝sin＝cos ＝.
2．(2021·开封市第一次摸底)已知函数f(x)＝sin 2xcos φ＋cos 2xsin φ(x∈R)，其中φ为实数，且f(x)≤f对任意实数R恒成立，记p＝f，q＝f，r＝f，则p、q、r的大小关系是( )
A．r<p<q B．q<r<p
C．p<q<r D．q<p<r
解析：选C.f(x)＝sin 2xcos φ＋cos 2xsin φ＝sin(2x＋φ)，
∴f(x)的最小正周期T＝π.
∵f(x)≤f，∴f是最大值．
∴f(x)＝sin，∴p＝sin ，q＝sin ，r＝sin ，
∴p<q<r.
3．当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．
解析：∵x∈，∴sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)
＝2＋.
∴当sin x＝时，ymin＝，
当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.
答案： 2
4．(2021·内蒙古包头一模)给出下列命题：
①函数f(x)＝4cos的一个对称中心为；
②已知函数f(x)＝min{sin x，cos x}，则f(x)的值域为；
③若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β.
其中全部真命题的序号是________．
解析：对于①，令x＝－π，则2x＋＝－π＋＝－，有f＝0，因此为f(x)的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f(x)的值域为，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°＞60°，但sin 390°＝＜sin 60°＝，故③为假命题，所以真命题为①②.
答案：①②
5．(2021·辽宁省五校联考)设函数f(x)＝sin ωx＋sin，x∈R.
(1)若ω＝，求f(x)的最大值及相应x的集合；
(2)若x＝是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f(x)的最小正周期．
解：由已知：f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin.
(1)若ω＝，则f(x)＝sin，
又x∈R，则sin≤，
∴f(x)max＝，此时x－＝2kπ＋，k∈Z.
即x∈.
(2)∵x＝是函数f(x)的一个零点，
∴sin＝0，∴ω－＝kπ，k∈Z，
又0<ω<10，∴ω＝2，∴f(x)＝sin，此时其最小正周期为π.
6．(选做题)已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．
解：(1)∵x∈，
∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b，3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得，
f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f
＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)>0，得g(x)>1，
∴4sin－1>1，
∴sin>，
∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ<x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.
又∵当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，
g(x)单调递减，即kπ＋<x<kπ＋，k∈Z.
∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.
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