资源描述
2021年高中毕业班级第一次质量猜想
理科数学试题卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡.
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为，则对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
3.等差数列的前项和为，且，则公差等于（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
4. 命题“”是命题“直线与直线垂直”成立的（ ）
A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件
5. 已知点是抛物线上一点，焦点为，，则（ ）
A. 100 B.200 C.360 D.400
6. 已知点的坐标满足条件，那么点到直线的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D. 1
7. 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则的最大值为（ ）
A. 32 B.
C.64 D.
8. 如图，函数（其中）与坐标轴的三个交点满足，为线段的中点，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
9. .如图所示的程序框图中，若，且恒成立，则的最大值是（ ）
A. 4 B.3
C. 1 D. 0
10. 设函数，若实数分别是的零点，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 在中，，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 设函数，记
…，，则（ ）
A. B. C. D. 无法确定
第II卷
本试卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22-24题为选考题，同学依据要求作答.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.
13. 已知等比数列，前项和为，，则
14. 已知，在二项式的开放式中，的一次项系数的值为
15. 设函数的定义域为，若对于任意的，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心.争辩函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到…
16.给定方程：，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有很多个实数解；③该方程在内有且只有一个实数根；④若是方程的实数根，则.
正确命题是
三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
在中，分别为角、、的对边，为边的中点，
（I）若，求的值；（II）若，求的面积.
18.(本小题满分12分)
某学校为了丰富同学的业余生活，以班级为单位组织同学开展古诗词背诵竞赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为，背诵错误的的概率为，现记“该班级完成首背诵后总得分为”.
（I） 求且的概率；
（II）记，求的分布列及数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，底面，，为的中点，为棱上一点.
（I）试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论；
（II）若，求二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知动点到定点和直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线，过点作垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线与曲线交于两点，与线段相交于一点（与不重合）
（I）求曲线的方程；（II）当直线与圆相切时，四边形的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线的方程；若没有，请说明理由.
22. （本小题满分12分）
已知函数.
（I）当时，求在点处的切线方程；
（II）当时，设函数，且函数有且仅有一个零点，若，，求的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图所示，交圆于两点，切圆于，为上一点且，连接并延长交圆于点，作弦垂直，垂足为.
（I）求证：为圆的直径；
（II）若，求弦的长.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线和圆交于两点，是圆上不同于的任意一点.
（I）求圆心的极坐标；（II）求面积的最大值.
24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（I）当时，求不等式的解集；
（II）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.
2021年高中毕业班级第一次质量猜想
理科数学 参考答案
一、选择题
1-12：BCDA DBCC BADA
二、填空题
13. 14.-10 15.82 16.2,3,4.
三、解答题
17.解：(Ⅰ) ，，
由余弦定理：
=，………………………………2分
． ……………………………………………………………………4分
又 ，所以，
由正弦定理：，
得．………………………………………6分
(Ⅱ) 以为邻边作如图所示的平行四边形，如图，B
C
D
A
E
则，…………………8分
在△BCE中，
由余弦定理：．
即，
解得：即…………………10分
所以.…………………………………………12分
18.解：(Ⅰ)当时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，………………2分
若第一首和其次首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分
若第一首正确，其次首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首，
此时的概率为：………… …………5分
（2）∵的取值为10，30，50，又…………………6分
∴,
…………………9分
∴的分布列为：
10
30
50
∴.…………………………………………12分
19.解：（1）当为中点时，平面，…………………2分
理由如下： 连结交于，连结，
由于，为的中点，所以为的中点．
当为的中点，即时，为的中位线，…………4分
故，又平面，
所以平面.…………………………………………5分
（2）由题意，以点为原点所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，…………………6分
则…………………7分
由可得点,
所以,
设平面的法向量为，则
令，…………………9分
同理平面的法向量为,…………………10分
设二面角大小为，…………………………………………12分
20.解：(1).设点，由题意可得，，…………………2分
整理可得：.曲线的方程是.………………………5分
(2).设，，由已知可得：
当时，不合题意. …………………6分
当时，由直线与圆相切，可得：，即
联立消去得…………………8分
，
所以，
= =10分
当且仅当，即时等号成立，此时，经检验可知，
直线和直线符合题意. ………………………………12分
21.解：（1）当时，,定义域为，
…………………2分
，又在处的切线方程 ……………4分
（2）令则即
令， …………………5分
则 …………………6分
令,，，在上是减函数，又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，.………8分
由于， 所以当函数有且仅有一个零点时，.
当，，若只需证明
…………………9分
，令得或，又，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，10分
又 ，
即 ， ………12分
22．证明：(1)由于，所以.
由于为切线，故，…………………2分
又由于，所以，
所以，
从而.…………………4分
又所以，所以，
故为圆的直径．…………………5分
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，
于是∠DAB＝∠CBA. …………………7分
又由于∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB. ………………8分
由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，…………………9分
所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以.…………………10分
23.解：(Ⅰ)圆的一般方程为，即………2分
所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为；…………………5分
(Ⅱ)直线的一般方程：，圆心到直线的距离
，…………………7分
所以
点直线距离的最大值为…………………9分
.…………………10分
24.解：（Ⅰ）当时，………………………3分
由易得不等式解集为；………………………5分
（2）由二次函数，该函数在取得最小值2，
由于在处取得最大值，…………………7分
所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，只需，
即.……………………………10分
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
