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提能专训(十二) 与数列交汇的综合问题
一、选择题
1．(2022·吉林试验中学)若{an}为等差数列，Sn是其前n项和，且S11＝，则tan a6的值为( )
A. B．－
C．± D．－
[答案] B
[解析] ∵S11＝＝11a6＝，
∴a6＝，∴tan a6＝tan＝－.
2．(2022·合肥二次联考)在△ABC中，tan A是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是________三角形( )
A．等腰直角 B．钝角
C．锐角 D．非等腰的直角
[答案] C
[解析] 依题意知，d＝tan A＝＝＝2，
q＝tan B＝＝＝3.
∴tan(A＋B)＝＝＝－1<0，
∴A＋B为钝角，故C为锐角．易知A，B均为锐角．
∴△ABC为锐角三角形．
3．(2022·安阳调研)等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，….且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )
A．(n－1)2 B．(n＋1)2
C．n(2n－1) D．n2
[答案] D
[解析] ∵等比数列{an}满足an>0，a5·a2n－5＝22n(n≥3)，∴a5·a2n－5＝(an)2＝22n，∴an＝2n.∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3·…·a2n－1)＝log2(an)n＝log2(2n)n＝log22n2＝n2.
4．计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1 101)2表示二进制数，将它转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数(11…01)2转换成十进制数是( )
A．216－1 B．216－2
C．216－3 D．216－4
[答案] C
[解析] 由题意可得转化为十进制数为1×215＋1×214＋…＋1×22＋1×20＝1×215＋1×214＋…＋1×22＋1×2＋1×20－2＝216－3.故选C.
5．(2022·厦门5月适应性考试)数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为∏n，且∏n＝()n(n＋1)，则S5等于( )
A．31 B．62
C．124 D．126
[答案] B
[解析] 由于＝＝2n(n≥2)，所以an＝2n(n≥2)，又a1＝∏1＝()2＝2，所以an＝2n(n∈N*)，即数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则S5＝＝26－2＝62.故选B.
6．(2022·浦东新区第一学期期末质量抽测)已知函数f(x)＝，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＋f(2 014)＋f＋f＋…＋f＋f＝( )
A．2 010 B．2 011
C．2 012 D．2 013
[答案] D
[解析] 这种类型的求和问题，一般都是配对分组，观看式子的特征，争辩发觉f(x)＋f＝1，因此把式子中f(k)与f合并使每个和都为1，共有2 013个1，而f(1)＝，故结论为D.
7．(2022·西宁四校联考)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，令an＝f(n＋1)＋f(n)，n∈N*，记数列的前n项和为Sn，则Sn＝10时，n的值是( )
A．110 B．120
C．130 D．140
[答案] B
[解析] 设f(x)＝xα，则4α＝2，α＝，f(x)＝，＝＝－，数列的前n项和Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝10得n＝120，故选B.
8．(2022·陕西质检)已知函数f(x)＝(1－3m)x＋10(m为常数)，若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}前100项的和为( )
A．39 400 B．－39 400
C．78 800 D．－78 800
[答案] B
[解析] ∵a1＝f(1)＝(1－3m)＋10＝2，∴m＝3，∴an＝f(n)＝－8n＋10，∴S100＝－8(1＋2＋…＋100)＋10×100＝－8×＋10×100＝－39 400，故选B.
9．(2022·兰州、张掖联考)如图，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f(x)＝x＋(x>0)的图象上．若点Bn的坐标为(n,0)(n≥2，n∈N*)，记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2＋a3＋…＋a10＝( )
A．208 B．216
C．212 D．220
[答案] B
[解析] 由Bn(n,0)得Cn，令x＋＝n＋，即x2－x＋1＝0，得x＝n或x＝，所以Dn.所以矩形AnBnCnDn的周长an＝2＋2＝4n，则a2＋a3＋…＋a10＝4×(2＋3＋…＋10)＝216.
10．(2022·南昌一模)若数列{an}，{bn}的通项公式分别是an＝(－1)n＋2 013·a，bn＝2＋，且an<bn对任意n∈N*恒成立，则常数a的取值范围是( )
A．(－2,1) B．[－2,1)
C．(－2,1] D．[－2,1]
[答案] B
[解析] 由an<bn，得－(－1)n·a<2＋，
要使其对任意n∈N*恒成立，则当n＝2k－1(k∈N*)时，a<2－恒成立，又max＝1，所以a<2－1＝1；当n＝2k(k∈N*)时，－a<2＋恒成立，又∈，所以－a≤2，得a≥－2.综上所述，－2≤a<1.
11．已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，＋＝，若有穷数列(n∈N*)的前n项和等于，则n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] B
[解析] ′＝，
由于f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，所以′<0，即axln a<0，故0<a<1.由＋＝，得a＋＝，解得a＝.所以有穷数列(n∈N*)是等比数列，其前n项和Sn＝＝，解得n＝5.
12．(2022·衡阳二模)设函数f(x)＝8x＋sin πx－cos πx，数列{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，则a4＝( )
A．0 B. C. D．1
[答案] B
[解析] 由题知[f(a1)－2]＋[f(a2)－2]＋…＋[f(a7)－2]＝0，f(x)－2＝8＋sin π.令g(t)＝8t＋sin πt，则g′(t)＝8＋πcos πt>0，g(－t)＝－g(t)，
∴g＋g＋…＋ga7－＝0.
∵数列{an}是公差不为0的等差数列，
∴不妨设a1<a2<…<a7，
则a1－<a2－<…<a7－，
假设＋>0，
>－，
g>－g，
g＋g>0，
∴g＋g＋…＋ga7－>0.
假设＋<0，
同理可得g＋g＋…＋g<0.
综上，＋＝0，a1＋a7＝，a4＝.
二、填空题
13．(2022·河南六市统考)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f＝f(x)，f(－2)＝5，数列{an}满足a1＝－1，且＝2×＋1(其中Sn为{an}的前n项和)，则f(a6)＋f(a7)＝________.
[答案] －5
[解析] 由题意，得Sn＝2an＋n，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋n－(2an－1＋n－1)＝2an－2an－1＋1，∴an＝2an－1－1(n≥2)⇒an－1＝2(an－1－1)，又a1＝－1，∴数列{an－1}是公比为2，首项为－2的等比数列．∴an＝－2n＋1.∴a6＝－63，a7＝－127.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f－x＝f(x)，∴f(x)是周期为3的函数．∴f(a6)＋f(a7)＝f(－63)＋f(－127)＝f(0)＋f(－1)＝f(2)＝－5.
14．(2022·石家庄质检二)定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的．已知数列{an}满足a1＝a(a>0)，a2＝1，an＋2＝(n∈N*)，若a2 014＝2a，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 014的值为________．
[答案] 5 235
[解析] ∵a1＝a>0，a2＝1，∴a3＝，a4＝a5＝a6＝a，∴a2 014＝a402×5＋4＝a4＝2a＝4，∴a＝2，∴S2 014＝(2＋1＋2＋4＋4)×402＋2＋1＋2＋4＝5 235.
15．(2022·吉林三模)各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7＝4，a6＝8，若函数f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10的导数为f′(x)，则f′的值为________．
[答案]
[解析] 由题意，得公比q>0，且an>0，则有解得∴an＝×2n－1＝2n－3，∴f′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9.∵nann－1＝n×2n－3×21－n＝，∴f′＝＋＋…＋＝×＝.
16．(2022·南京一模)已知等比数列{an}的首项为，公比为－，其前n项和为Sn，若A≤Sn－≤B对任意n∈N*恒成立，则B－A的最小值为________．
[答案]
[解析] 依据题意，得
Sn＝＝1－n＝，设C＝Sn－＝－
＝，
令－2×(－3)n＋1＝t，则(－3)n＝，由于n∈N*，所以当n为奇数时(－3)n≤－3，t≥7，当n为偶数时(－3)n≥9，t≤－17.
则C＝＝，在t＝－17时取得最小值－，在t＝7时取得最大值，所以B－A的最小值为－＝.
三、解答题
17．(2022·郑州第一次质量猜测)已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)，当x＝－时取得最小值－4.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝f(0)，a4＝f，求数列的前n项和Tn.
解：(1)由题意知x＝－时f(x)取得最小值－4，
∴A＝4,4sin＝－4，
∴sin＝－1，
又0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝4sin.
(2)∵a2＝f(0)，a4＝f，
∴a4＝4，a2＝2.
设等差数列{an}的公差为d，则d＝1，a1＝1，
∴Sn＝，
Tn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝2
＝2＝.
18．(2022·合肥第一次质量检测)已知函数f(x)＝x＋(x>0)，以点(n，f(n))为切点作函数图象的切线ln(n∈N*)，直线x＝n＋1与函数y＝f(x)图象及切线ln分别相交于An，Bn，记an＝|AnBn|.
(1)求切线ln的方程及数列{an}的通项；
(2)设数列{nan}的前n项和为Sn，求证：Sn<1.
解：(1)对f(x)＝x＋(x>0)求导，得f′(x)＝1－，则切线ln的方程为y－＝(x－n)，
即y＝x＋.
易知An，
Bn，
由an＝|AnBn|知，
an＝＝.
(2)证明：∵nan＝＝－，
∴Sn＝a1＋2a2＋…＋nan＝1－＋－＋…＋－＝1－<1.
19．(2022·成都七中3月模拟)设函数f(x)＝＋(x>0)，数列{an}满足a1＝1，an＝f，n∈N*，且n≥2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对n∈N*，设Sn＝＋＋＋…＋，若Sn≥恒成立，求实数t的取值范围．
解：(1)由an＝f，可得an－an－1＝，n∈N*，n≥2.所以{an}是等差数列．
又由于a1＝1，
所以an＝1＋(n－1)×＝，n∈N*.
(2)由于an＝，所以an＋1＝，
所以＝
＝.
所以Sn＝＝，n∈N*.
Sn≥，即≥，得t≤(n∈N*)恒成立．
令g(n)＝(n∈N*)，则
g(n)＝＝＝2n＋3＋－6(n∈N*)．
令p＝2n＋3，则p≥5，p∈N*.
g(n)＝p＋－6(n∈N*)，易知p＝5时，g(n)min＝.所以t≤，即实数t的取值范围是.
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