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突破练(三)
1．设函数f(x)＝sin ＋2sin2(ω＞0)，已知函数f(x)的图象的相邻对称轴的距离为π.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(其中b＜c)，且f(A)＝，△ABC的面积为S＝6，a＝2，求b，c的值．
解 (1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋1－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx＋1
＝sin (ωx－)＋1.
∵函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π.
∴函数f(x)的周期为2π.∴ω＝1.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝sin (x－)＋1.
(2)由f(A)＝，得sin (A－)＝.
又∵A∈(0，π)，∴A＝.
∵S＝bcsin A＝6.
∴bcsin ＝6，bc＝24.
由余弦定理，得a2＝(2)2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－24.∴b2＋c2＝52.
又∵b＜c，解得b＝4，c＝6.
2．已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和为Sn＝pn2＋2n，n∈N*，
(1)求p的值及an；
(2)在等比数列{bn}中，b3＝a1，b4＝a2＋4，若等比数列{bn}的前n项和为Tn，求证：数列{Tn＋}为等比数列．
(1)解 由已知a1＝S1＝p＋2，S2＝4p＋4即a1＋a2＝4p＋4.∴a2＝3p＋2.
由已知a2－a1＝2，∴p＝1，∴a1＝3，又公差为2，
∴an＝2n＋1，n∈N*.
(2)证明 在等比数列{bn}中，设公比为q，∵b3＝a1＝3，b4＝a2＋4＝9，∴q＝3.
由b3＝b1·32，即3＝b1·32，解得b1＝.
∴{bn}是以为首项，3为公比的等比数列．
∴Tn＝＝·(3n－1)．
即Tn＋＝·3n＝·3n－1.
又∵T1＋＝，＝3，n≥2，n∈N*.
∴数列{Tn＋}是以为首项，公比为3的等比数列．
3．为了响应政府“节能、降耗、减排、增效”的号召，某工厂打算转产节能灯，现有A、B两种型号节能灯的生产线供选择．从这两种生产线生产的大量节能灯中各随机抽取100个进行质量评估，经检测，综合得分状况如下面的频率分布直方图：
产品级别划分以及利润如下表：
综合得分k的范围
产品级别
产品利润(元/件)
k≥85
一级
4
75≤k＜85
二级
2
k＜75
不合格
－2
视频率为概率．
(1)估量生产A型节能灯的一级品率；
(2)估量生产一个B型节能灯的利润大于0的概率，并估量生产100个B型节能灯的平均利润．
解 (1)由频率分布直方图知，A型节能灯的一级品的频率为0.044×5＋0.016×5＝0.3，所以生产A型节能灯的一级品率的估量值为0.3.
(2)由条件知，生产B型节能灯一个产品的利润大于0的概率当且仅当k≥75，由频率分布直方图知，k≥75的频率为0.96，所以生产B型节能灯一个产品的利润大于0的概率估量值为0.96.
生产100个B型节能灯的平均利润为×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．
4．已知三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D.
(1)求证：AC1⊥BA1；
(2)求四棱锥A1－BCC1B1的体积．
(1)证明 ∵A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，
∴A1D⊥平面ABC.
∵A1D⊂平面A1AC，∴平面A1AC⊥平面ABC.
∵BC⊥AC，平面A1AC∩平面ABC＝AC，
∴BC⊥平面A1AC.∵AC1⊂平面A1AC，∴BC⊥AC1.
易知四边形ACC1A1为平行四边形．
又∵AA1＝AC，∴四边形ACC1A1为菱形，
A1C⊥AC1，BC⊥AC1，又∵A1C∩BC＝C，
∴AC1⊥平面A1CB.
又∵BA1⊂平面A1CB，∴AC1⊥BA1.
(2)解 ∵VA1－ABC＝S△ABC·A1D＝××2×2×＝，
VA1B1C1－ABC＝S△ABC·A1D＝×2×2×＝2，
∴VA1－BCC1B1＝VA1B1C1－ABC－VA1－ABC＝2－＝.
5．在圆x2＋y2＝8上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，D为垂足，M为垂线段PD上的点，且满足|MD|＝|DP|.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若直线l与(1)中轨迹E相交于不同两点A，B，且满足⊥(O为坐标原点)，求线段AB长度的取值范围．
解 (1)设M(x，y)，P(x1，y1)．
由|MD|＝|DP|，得
又∵P(x1，y1)在圆x2＋y2＝8上，
∴x＋y＝8，即x2＋(y)2＝8.
∴点M的轨迹E的方程为＋＝1.
(2)(ⅰ)假设直线l的斜率存在，其方程为y＝kx＋m.
联立
可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.
∴(*)
∵·＝0，∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0.
化简，可得(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0.
将(*)式代入，化简可得3m2＝8k2＋8.
又∵|AB|＝|x1－x2|
＝.
将m2＝(k2＋1)代入，可得
|AB|＝＝
＝
＝≤2.
∴当且仅当k2＝，即k＝±时等号成立．
又由≥0，∴|AB|≥＝.
∴≤|AB|≤2.
(ⅱ)若直线l的斜率不存在，则易得|AB|＝.
综上，得≤|AB|≤2.
6．已知函数f(x)＝(x2－2ax＋a2)ln x，a∈R，
(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＝－1时，令F(x)＝＋x－ln x，证明：F(x)≥－e－2(其中e为自然对数的底数)；
(3)若函数f(x)不存在极值点，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝0时，f(x)＝x2ln x(x＞0)，此时f′(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)．
令f′(x)＞0，解得x＞e－；令f′(x)<0，解得0<x<e－.
∴函数f(x)的单调递增区间为(e－，＋∞)，单调递减区间为(0，e－)．
(2)F(x)＝＋x－ln x＝xln x＋x.
由F′(x)＝2＋ln x，得F(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增．
∴F(x)≥F(e－2)＝－e－2.
(3)f′(x)＝2(x－a)ln x＋＝·(2xln x＋x－a)．
令g(x)＝2xln x＋x－a，则g′(x)＝3＋2ln x.
∴函数g(x)在(0，e－)上单调递减，在(e－，＋∞)上单调递增．
∴g(x)≥g(e－)＝－2e－－a.
①当a≤0时，∵函数f(x)无极值，∴－2e－－a≥0.
解得a≤－2e－.
②当a＞0时，g(x)min＝－2e－－a＜0，即函数g(x)在(0，＋∞)存在零点，记为x0.
由函数f(x)无极值点，易知x＝a为方程f′(x)＝0的重根，即x＝a也是2xln x＋x－a＝0的根．
∴2aln a＋a－a＝0，即2aln a＝0，a＝1.
当0＜a＜1时，x0＜1且x0≠a，函数f(x)的极值点为a和x0；
当a＞1时，x0＞1，且x0≠a，函数f(x)的极值点为a和x0；
当a＝1时，x0＝1，此时函数f(x)无极值．
综上，a≤－2e－或a＝1.
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