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第1课时 命 题
1.了解命题的概念及命题的四种形式(即原命题、逆命题、否命题、逆否命题).
2.会分析四种命题间的相互关系和等价关系.
有一家仆人是一个不善言辞的木讷之人,一天仆人邀请张三、李四、王五三人吃饭谈天,时间到了,只有张三、李四准时赴约,王五打电话说:“临时有急事不能来了.”仆人听到随口说了一句:“你看看,该来的没来.”张三听到,脸色一沉,起来一声不吭地走了,仆人愣了片刻,又道了句:“哎,不该走的走了.”李四一听大怒,拂袖而去,仆人尴尬不知所措.
问题1: (1)张三和李四之所以生气走人,是由于仆人的表达方式存在规律错误,该来的没来这句话等价于 ,不该走的走了这句话等价于 .
(2)一般地,在数学中我们把用语言、符号或式子表达的,可以推断 的陈述句叫作命题.其中推断为真的语句叫作 ,推断为假的语句叫作 .命题的常见形式是 ,其中p叫作命题的 ,q叫作命题的 .
问题2: 四种命题
对于两个命题,假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 和 ,那么我们把这样的两个命题叫作 命题.假如把其中的一个命题叫作 ,那么另一个命题叫作 .
对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 和 ,我们把这样的两个命题叫作 命题.假如把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题就叫作 .
对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 和 ,我们把这样的两个命题叫作 .假如把其中的一个命题叫作原命题,那么另一个命题就叫作 .
问题3: 四种命题之间的相互关系
问题4: 四种命题的真假性的推断状况:
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
假
假
真
假
假
说明:(1)原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有 ;
(2)互逆命题和互否命题,它们的真假性 关系;
(3)在推断一些命题的真假时,假如不简洁直接推断,可以通过推断其逆否命题的真假来推断原命题的真假.
1.命题“平行四边形的对角线既相互平分,也相互垂直”的结论是( ).
A.这个四边形的对角线相互平分
B.这个四边形的对角线相互垂直
C.这个四边形的对角线既相互平分,也相互垂直
D.这个四边形是平行四边形
2.命题“若a∉A,则b∈B”的否命题是( ).
A.若a∉A,则b∉B B.若a∈A,则b∉B
C.若b∈B,则a∉A D.若b∉B,则a∉A
3.下列语句是命题的有 .
(1)5<2;
(2)π是无理数;
(3)x+5=8;
(4)你是高二的同学吗?
4.已知命题:若m>2,则方程x2+2x+3m=0无实根,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并推断真假.
命题及其真假的推断
推断下列语句是否为命题,若是命题,则推断其真假.
①求证:2是无理数;②x2-2x+3≥0;③正三角形是等腰三角形吗?④x≤3;⑤方程x2+3x+3=0无实数解;⑥若G2=ab,则a,G,b成等比数列.
四种命题间的关系
将命题“a>0,则函数y=ax+b的值随x的增大而增大”,写成“若p,则q”的形式,并写出其否命题、逆命题和逆否命题.
逆否命题的应用
求证:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.
推断下列语句是否是命题.
(1)求证π是无理数;(2)x2+4x+5=0;(3)若a,b都是无理数,则ab是无理数.
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并推断其真假.
(1)若a>b,则ac2>bc2.
(2)两个无理数的积仍是无理数.
证明:对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b.
1.已知x,y∈R,下列命题中为真命题的是( ).
A.若xy=0,则x2+y2=0 B.若xy=0,则|x|+|y|=|x+y|
C.若x>y,则x2>y2 D.若x<y,则xy<1
2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ).
A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”
C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”
3.命题“当AB=AC时,△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题有 个.
4.把下列命题写成“若p,则q”的形式,并推断其真假.
(1)等腰三角形的两个底角相等. (2)当x=2或x=4时,x2-6x+8=0.
(3)菱形对角线相等且相互平分.(4)方程x2-x+1=0有两个实根.
(2021年·天津卷)已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的12,则其体积缩小到原来的18;
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=12相切.
其中真命题的序号是( ).
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
考题变式(我来改编):
第一章 常用规律用语
第1课时 命 题
学问体系梳理
问题1:(1)来的都是不该来的 该走的没有走 (2)真假
真命题 假命题 “若p,则q” 条件 结论
问题2:结论 条件 互逆 原命题 原命题的逆命题 条件的否定 结论的否定 互否 原命题的否命题 结论的否定 条件的否定 互为逆否命题 原命题的逆否命题
问题4:真 真 假 真 真 假 假 假 (1)相同的真假 (2)没有
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1.C 条件:若一个四边形为平行四边形,结论:这个四边形的对角线既相互平分,也相互垂直.
2.B 留意“∈”与“∉”互为否定形式.
3.(1)(2) (1)(2)是能判真假的陈述句,是命题.(3)虽是陈述句,但不能推断真假.(4)是疑问句,不是陈述句.故(3)(4)不是命题.
4.解:逆命题:若方程x2+2x+3m=0无实根,则m>2,假命题.
否命题:若m≤2,则方程x2+2x+3m=0有实根,假命题.
逆否命题:若方程x2+2x+3m=0有实根,则m≤2,真命题.
重点难点探究
探究一:【解析】
题号
是否为命题
分析
①
否
不是陈述句,因此不是命题
②
是
x2-2x+3=(x-1)2+2≥0恒成立,是真命题
③
否
不是陈述句,因此不是命题
④
否
虽是陈述句,但无法推断其真假,故不是命题
⑤
是
由于Δ=32-4×3=-3<0,故方程x2+3x+3=0无实数解,是真命题
⑥
是
若G=a=0,则a,G,b不是等比数列,故为假命题
【小结】推断一个语句是否为命题的步骤:先看该语句是否为陈述句,假如不是陈述句,就不是命题,假如是陈述句,再看该语句能否推断真假,若能推断真假就是命题,否则不是命题.
探究二:【解析】原命题“若p,则q”的形式:当a>0时,若x增大,则函数y=ax+b的值也随着增大;
否命题:当a>0时,若x不增大,则函数y=ax+b的值也不增大;
逆命题:当a>0时,若函数y=ax+b的值增大,则x的值也随着增大;
逆否命题:当a>0时,若函数y=ax+b的值不增大,则函数x的值也不增大.
【小结】在写四种命题时,要记住条件和结论位置的变化及是否已被否定.
探究三:【解析】原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”.
若a+b<0,则a<-b,b<-a,
又∵f(x)是在(-∞,+∞)上的增函数,
∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),
∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).
即原命题的逆否命题为真命题,
∴原命题为真命题.
【小结】命题的四种形式之间的关系,供应了一个推断命题真假的变通手段,由于互为逆否的两个命题是等价命题,它们同真或同假,所以当一个命题不易推断时,可以通过推断其逆否命题的真假来推断原命题的真假.
思维拓展应用
应用一:(1)祈使句,不是命题;(2)由于x2+4x+5=(x+2)2+1>0,对于x∈R,可以推断其真假,所以是命题;(3)可以推断真假,所以是命题.
应用二:(1)逆命题:若ac2>bc2,则a>b,真命题.
否命题:若a≤b,则ac2≤bc2,真命题.
逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b,假命题.
(2)逆命题:乘积为无理数的两个数都是无理数,假命题.
否命题:两个不都是无理数的积也不是无理数,假命题.
逆否命题:乘积不是无理数的两个数不都是无理数,假命题.
应用三:将“对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b”视为原命题.
要证明原命题为真命题,可以考虑证明它的逆否命题“对任意非正数c,若a>b,则a>b+c”为真命题.
若a>b,由c≤0知b≥b+c,∴a>b+c.
∴原命题的逆否命题为真命题,从而原命题为真命题.即对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b.
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1.B 若x=2,y=0,则x2+y2>0,故A是假命题.
xy=0即x、y中至少有一个为0,∴|x|+|y|=|x+y|,故B是真命题.
若x=2,y=-3,则x2<y2,故C是假命题.
若x<y<0,则xy>1,故D是假命题.
2.B
3.2 原命题为真命题;逆命题“当△ABC是等腰三角形时,AB=AC”为假命题;否命题“当AB≠AC时,△ABC不是等腰三角形”为假命题;逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时,AB≠AC”为真命题.
4.解:(1)若一个三角形是等腰三角形,则它的两个底角相等,真命题.
(2)若x=2或x=4,则x2-6x+8=0,真命题.
(3)若一个四边形是菱形,则它的对角线相等且相互平分,假命题.
(4)假如一个方程为x2-x+1=0,则这个方程有两个实数根,是假命题.
全新视角拓展
C 由于球的体积公式V=43πR3,所以①正确;两组数据的平均数相等,标准差不肯定相等,如0,0,0与100,0,-100,所以②错;圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离d=12=22=r,所以③正确,故选C.
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