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第七章 第三节
一、选择题
1．(文)若2x＋4y<4，则点(x，y)必在( )
A．直线x＋y－2＝0的左下方 B．直线x＋y－2＝0的右上方
C．直线x＋2y－2＝0的右上方 D．直线x＋2y－2＝0的左下方
[答案] D
[解析] ∵2x＋4y≥2，由条件2x＋4y<4知，
2<4，∴x＋2y<2，即x＋2y－2<0，故选D．
(理)(2021·衡水模拟)已知点P(2，t)在不等式组表示的平面区域内，则点P(2，t)到直线3x＋4y＋10＝0距离的最大值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[答案] B
[解析] 画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示)．结合图形可知，点A到直线3x＋4y＋10＝0的距离最大．由得A点坐标为(2,1)，故所求最大距离为
dmax＝＝4.
2．在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )
A．95 B．91
C．88 D．75
[答案] B
[解析] 由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；
y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；
y＝3时，0≤x≤10；y＝4时，0≤x≤9；
y＝5时，0≤x≤7；y＝6时，0≤x≤6；
y＝7时，0≤x≤4；y＝8时，0≤x≤3；
y＝9时，0≤x≤1，y＝10时，x＝0.
∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．
3．(2022·唐山市二模)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则2x＋y的最大值和最小值分别为( )
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
[答案] B
[解析] 不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域如图所示，
作直线l0：2x＋y＝0，平移直线l0，当l0经过点(1,0)时，2x＋y取最大值2，当l0经过点(－1,0)时，2x＋y取最小值－2.
4．(文)(2022·邯郸质检)已知实数x，y满足，则z＝2x＋y的最大值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
[答案] C
[解析] 依题意，画出不等式组表示的平面区域及直线2x＋y＝0(图略)，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(3,2)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝2x＋y取得最大值，最大值是2×3＋2＝8，选C．
(理)(2022·哈三中一模)若变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的最小值为( )
A．－4 B．0
C． D．4
[答案] B
[解析] 作出可行域如图，作直线l0：3x－y＝0，平移l0当经过可行域内的点A(1，)时，－z最大．
从而z取最小值．
∴zmin＝3×1－＝.
5．(文)设不等式组所表示的平面区域为S，若A、B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B．
C．3 D．
[答案] B
[解析] 在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形观看不难得知，
位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB|的最大值是，选B．
(理)已知x，y满足不等式组目标函数z＝ax＋y只在点(1,1)处取最小值，则有( )
A．a>1 B．a>－1
C．a<1 D．a<－1
[答案] D
[解析] 作出可行域如图阴影部分所示．
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
只在点(1,1)处z取得最小值，则斜率－a>1，
故a<－1，故选D．
6．(文)已知约束条件若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为( )
A．0<a< B．a≥
C．a> D．0<a<
[答案] C
[解析] 作出可行域如图，
∵目标函数z＝x＋ay恰好在点A(2,2)处取得最大值，故－>－3，∴a>.
(理)(2022·石家庄市二检)已知实数x，y满足假如目标函数z＝x－y的最小值为－2，则实数m的值为( )
A．0 B．2
C．4 D．8
[答案] D
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示，由得
作直线l0：x－y＝0，平移直线l0，当l0经过平面区域内的点(，)时，z＝x－y取最小值－2，∴－＝－2，∴m＝8.
二、填空题
7．(文)(2022·海南六校联考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为________．
[答案] －
[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图所示．
由，得.
∴当点M的坐标为(3，－1)时，直线OM的斜率取最小值－.
(理)(2022·豫东、豫北十所名校段测)已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是________．
[答案] (－1，－]
[解析] 画出约束条件表示的平面区域如图所示．
表示平面区域内的点与原点连线的斜率的取值范围，∈[－3，－1)，∴∈(－1，－]．
[点评] 数形结合思想在线性规划中的应用：线性规划问题的求解基本上是在图上完成的，留意图形要力求精确 规范．另外还要记住常见代数式的几何意义：
(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
(2)表示点(x，y)与点(a，b)的距离；
(3)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；
(4)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率等．
练习下列各题：
①变量x、y满足
(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；
(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．
[分析] 作出可行域，理清所求表达式的几何意义，数形结合求解．
[解析] 由约束条件
作出(x，y)的可行域如图所示．
由，解得A.
由，解得C(1,1)．
由解得B(5,2)．
(1)∵z＝＝.
∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．
观看图形可知zmin＝kOB＝.
(3)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．
结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝，
∴2≤z≤29.
(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，
dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝8.
∴16≤z≤64.
②设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．[2,4] D．[2，＋∞)
[答案] D
[解析] 作出可行区域，如图，由题可知点(2，a2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a2≥4，
∴a≥2或a≤－2，又a>0且a≠1，∴a≥2.
③设实数x，y满足不等式组且x2＋y2的最小值为m，当9≤m≤25时，实数k的取值范围是( )
A．(－2,5) B．[－2,5]
C．(－2,5] D．(0,5]
[答案] B
[解析] 不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x2＋y2的最小值m即为|OA|2，
联立，得A(，)．
由题知9≤()2＋()2≤25，解得－2≤k≤5.
④(2022·山东青岛一模)已知实数x，y满足约束条件则w＝的最小值是( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
[答案] D
[解析] 画出可行域，如图所示．
w＝表示可行域内的点(x，y)与定点P(0，－1)连线的斜率，观看图形可知PA的斜率最小为＝1，故选D．
⑤(2022·安徽池州一中月考)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax2的图象过区域M的a的取值范围是( )
A．[，] B．[，9]
C．(－∞，9) D．[，9]
[答案] D
[解析] 题中可行域M如图所示，y＝ax2经过可行域M，则a>0，分别计算出经过(3,8)，(1,9)点时a的值，则a1＝，a2＝9，所以a的取值范围为[，9]，故选D．
8．(2022·北京西城一模)若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是________．
[答案] (3,5)
[解析] 平面区域如图中的阴影部分，
直线2x＋y＝6交x轴于点A(3,0)，交直线x＝1于点B(1,4)，当直线x＋y＝a与直线2x＋y＝6在线段AB(不包括线段端点)时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形．将点A的坐标代入直线x＋y＝a的方程得a＝3，将点B的坐标代入直线x＋y＝a的方程得a＝5，故实数a的取值范围是(3,5)．
9．(2022·吉林市二检)已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x－y的最大值为________．
[答案] 5
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示，作直线l0：2x－y＝0，平移直线l0，当l0经过平面区域内的点(2，－1)时，z取最大值5.
[点评] 应留意线性目标函数z＝ax＋by当b>0与b<0时最值的不同．
设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋y的最大值为________．
[答案] 11
[解析] 如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z＝4x＋y在P(2,3)处取得最大值，最大值为11.
三、解答题
10．(文)某公司预备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？
[解析] 设稳健型投资x份，进取型投资y份，利润总额为z(单位：10万元，则目标函数为z＝x＋1.5y(单位：10万元)，线性约束条件为：
即
作出可行域如图，解方程组
得交点M(4,2)，作直线l0：x＋1.5y＝0，平移l0，当平移后的直线过点M时，z取最大值：zmax＝(4＋3)×10＝70万元．
答：稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多．
(理)(2021·山东诸城一中月考)为保增长、促进展，某地方案投资甲、乙两个项目，依据市场调研，知甲项目每投资100万元需要配套电能2万千瓦时，可供应就业岗位24个，GDP增长260万元；乙项目每投资100万元需要配套电能4万千瓦时，可供应就业岗位36个，GDP增长200万元．已知该地为甲、乙两个项目最多可投资3000万元，配套电能100万千瓦时，若要求两个项目能供应的就业岗位不少于840个，问如何支配甲、乙两个项目的投资额，才能使GDP增长的最多．
[解析] 设甲项目投资x万元，乙项目投资y万元，增长的GDP为z万元，则投资甲、乙两个项目可增长GDP为z＝2.6x＋2y.
依题意，知x、y满足则此不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．
把z＝2.6x＋2y变形为y＝－1.3x＋0.5z，其在y轴上的截距为0.5z.由图可知当直线y＝－1.3x＋0.5z经过可行域上的点B时，其纵截距取得最大值，也即z取得最大值．
由得x＝2000，y＝1000，即点B的坐标为(2000,1000)，故当甲项目投资2000万元，乙项目投资1000万元时，GDP增长得最多．
一、选择题
11．(文)设O为坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)满足不等式组则使·取得最大值的点N的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．很多个
[答案] D
[分析] 点N(x，y)在不等式表示的平面区域之内，U＝·为x，y的一次表达式，则问题即是当点N在平面区域内变化时，求U取到最大值时，点N的个数．
[解析] 如图所示，可行域为图中阴影部分，而·＝2x＋y，所以目标函数为z＝2x＋y，作出直线l：2x＋y＝0，明显它与直线2x＋y－12＝0平行，平移直线l到直线2x＋y－12＝0的位置时目标函数取得最大值，故2x＋y－12＝0上介于1≤x≤上全部点都能使目标函数取得最大值，故选D．
(理)(2021·东北师大附中二模)O为坐标原点，点M的坐标为(1,1)，若点N(x，y)的坐标满足则·的最大值为( )
A． B．2
C． D．2
[答案] B
[解析] 如图，点N在图中阴影部分区域内，当O，M，N共线，且||＝2时，·最大，此时N(，)，·＝(1,1)·(，)＝2，故选B．
12．设实数x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为( )
A． B．
C． D．4
[答案] A
[解析] 由可行域可得，当x＝4，y＝6时，目标函数z＝ax＋by取得最大值，∴4a＋6b＝12，即＋＝1，
∴＋＝(＋)·(＋)＝＋＋≥＋2＝，故选A．
13．(文)(2022·郑州市质检)设实数x，y满足不等式组， 则x2＋y2的取值范围是( )
A．[1,2] B．[1,4]
C．[ ,2] D．[2,4]
[答案] B
[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图所示，x2＋y2表示的几何意义为平面区域内的点到坐标原点距离的平方，∴x2＋y2∈[1,4]．
(理)(2022·衡水中学五模)设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a，b>0)的最大值是12，则a2＋b2的最小值是( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 作出可行域如图，∵z＝ax＋by的最大值为12，a>0，b>0，
∴当直线z＝ax＋by经过点A(4,6)时z取到最大值，
∴4a＋6b＝12，∴2a＋3b＝6，
∵原点到直线2x＋3y＝6的距离d＝，
∴a2＋b2的最小值为.
14．(2021·湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车支配900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31200元 B．36000元
C．36800元 D．38400元
[答案] C
[解析] 设租A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，则
，画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z＝1600x＋2400y在点N(5,12)处取得最小值36800，故选C．
二、填空题
15．(2021·濮阳模拟)已知点A(2,0)，点P的坐标(x，y)满足则||·cos∠AOP(O为坐标原点)的最大值是________．
[答案] 5
[解析] ||·cos∠AOP即为在上的投影，即求不等式组所表示的可行域中点的横坐标的最大值．
由可得交点的坐标为(5,2)，此时||·cos∠AOP取值最大，
∴||·cos∠AOP的最大值为5.
16．(文)(2021·淮南其次次联考)已知x，y满足则目标函数z＝2x－y的最大值为________．
[答案] 3
[解析] 画出可行域如图，易知y＝2x－z过点C(2,1)时，zmax＝3.
(理)(2022·湖北黄冈三月月考)已知实数x，y满足则的最小值是________．
[答案] 4
[解析] 可行域如图所示，令＝k，
所以y＝.当k<0时抛物线的开口向下，不合条件．当k>0时，有两种可能状况：一是抛物线过点A(，)或C(3,2)．所以的最小值是；二是当抛物线y＝与直线x－y－1＝0(<x<3)相切时，联立方程组消掉y得到x2－kx＋k＝0，
∴Δ＝k2－4k＝0，∴k＝4，此时的最小值是4.综上可知的最小值是4.
三、解答题
17．(文)某玩具生产公司每天方案生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min，生产一个骑兵需7min，生产一个伞兵需4min，已知总生产时间不超过10h.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；
(2)怎样支配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
[解析] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，
所以利润W＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.
(2)约束条件为：
整理得
目标函数为W＝2x＋3y＋300，
如图所示，作出可行域．
初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，W有最大值，由得
最优解为A(50,50)，所以Wmax＝550(元)．
答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．
(理)(2021·广东茂名一模)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.
(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；
(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？
项目
用量
产品
工人(名)
资金(万元)
甲
4
20
乙
8
5
[解析] (1)依题意得，
解得
故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.
(2)依题意得x、y应满足的约束条件为
且z＝0.65x＋0.4y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．
作直线l：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．
解方程组得x＝2，y＝3.
故M的坐标为(2,3)，所以z的最大值为zmax＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.
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