2021高考数学(文)一轮知能检测：第8章-第3节-圆的方程.docx

第三节　圆 的 方 程

[全盘巩固]
1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)
A．－1 B．1 C．3 D．－3
解析：选B　由于圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a＝0，解得a＝1.
2．(2022·昆明模拟)方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　)
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
解析：选D　由题意得
即
或
故原方程表示两个半圆．
3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，假如动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)
A．π B．4π C．8π D．9π
解析：选B　设P(x，y)，由题意知有，
(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，
整理得x2－4x＋y2＝0，
配方得(x－2)2＋y2＝4.
可知圆的面积为4π.
4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A　设圆心坐标为(0，b)．
则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1.
又由于该圆过点(1,2)，所以圆的方程为12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.
即圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
5．实数x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，则(x－1)2＋(y－1)2的最大值为(　　)
A．30＋2 B．30＋4
C．30＋2 D．30＋4
解析：选B　(x－1)2＋(y－1)2表示圆x2＋(y＋4)2＝4上动点(x，y)到点(1,1)距离d的平方，由于－2≤d≤＋2，所以最大值为(＋2)2＝30＋4.
6．(2022·杭州模拟)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，即圆心在直线上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤.
7．(2022·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．
解析：由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即－＝.
答案：
8．(2022·丽水模拟)直线y＝x＋1被圆x2－2x＋y2－3＝0所截得的弦长为________．
解析：题中的圆心坐标是(1,0)，半径是2 ，圆心(1,0)到直线x－y＋1＝0的距离等于，因此所求的弦长等于2＝2.
答案：2
9．定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合⊆A，则称A为一个开集，给出下列集合：
①；
②；
③；
④.
其中为开集的是________(写出全部符合条件的序号)．
解析：集合表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)，
由开集的定义知，集合A应当无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．
答案：②④
10．圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，求圆C的方程．
解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则k、2为x2＋Dx＋F＝0的两根，
∴k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F＝2k，
又圆过R(0,1)，故1＋E＋F＝0.
∴E＝－2k－1.
故所求圆的方程为x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，
圆心坐标为.
∵圆C在点P处的切线斜率为1，
∴kCP＝－1＝，∴k＝－3.
∴D＝1，E＝5，F＝－6.
∴所求圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
11．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)∵直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，
∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①
又∵直径|CD|＝4，
∴|PA|＝2.
∴(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．
∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
12．(2022·广州模拟)在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于0.
(1)求的坐标；
(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．
解：(1)设＝(x，y)，
由|AB|＝2|OA|，·＝0，
得解得或
若＝(－6，－8)，则yB＝－11与yB>0冲突．
所以舍去．
即＝(6,8)．
(2)圆x2－6x＋y2＋2y＝0，
即(x－3)2＋(y＋1)2＝()2，
其圆心为C(3，－1)，半径r＝，
由于＝＋＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，
所以直线OB的方程为y＝x，设圆心C(3，－1)关于直线y＝x的对称点的坐标为(a，b)．
则解得
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
[冲击名校]
已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
解：(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何学问知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
[高频滚动]
1．(2022·南宁模拟)已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)、B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于(　　)
A．－4 B．－2
C．0 D．2
解析：选B　由题意知l的斜率为－1，则l1的斜率为1，kAB＝＝1，a＝0.由l1∥l2，得－＝1，b＝－2，所以a＋b＝－2.
2．(2022·固原模拟)若m>0，n>0，点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点在直线x－y＋2＝0上，那么＋的最小值等于________．
解析：由题意知(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为(1－n,1＋m)．又(1－n,1＋m)在直线x－y＋2＝0上，
所以1－n－(1＋m)＋2＝0，即m＋n＝2.
于是＋＝(m＋n)
＝×
≥×(5＋2×2)＝，
当且仅当＝，即n＝，m＝时，等号成立．
答案：