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课时提升作业(三十五)
基本不等式
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列不等式:①a2+1>2a;②a+bab≤2;③x2+1x2+1≥1,其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.①②不正确,③正确,x2+1x2+1=(x2+1)+1x2+1-1≥2-1=1.
2.(2021·福建高考)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是( )
A.0,2 B.-2,0
C.-2,+∞ D.-∞,-2
【解析】选D.22x+y≤2x+2y=1,所以2x+y≤14,即2x+y≤2-2,所以x+y≤-2.
3.(2021·济南模拟)设a>0,b>1,若a+b=2,则2a+1b-1的最小值为( )
A.3+22 B.6 C.42 D.22
【解析】选A.由题可知a+b=2,a+b-1=1,所以2a+1b-1=2a+1b-1(a+b-1)=
2+2(b-1)a+ab-1+1≥3+22,当且仅当a=2-2,b=2时,等号成立,故选A.
4.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围是
( )
A.-∞,14 B.0,14
C.-14,0 D.-∞,14
【解题提示】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解.
【解析】选A.由已知得圆心坐标为(-1,2),
故-2a-2b+2=0,即a+b=1,
故ab≤a+b22=14.
5.若实数x,y,z满足x2+y2+z2=2,则xy+yz+zx的取值范围是( )
A.[-1,2] B.[1,2]
C.[-1,1] D.[-2,2]
【解析】选A.由于(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2≥0,
所以x2+y2+z2≥xy+xz+yz,
所以xy+yz+zx≤2;
又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)≥0,
所以xy+xz+yz≥-12(x2+y2+z2)=-1.
综上可得:-1≤xy+xz+yz≤2.
故选A.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2021·青岛模拟)下列命题中正确的是 (填序号).
①y=2-3x-4x(x>0)的最大值是2-43;
②y=sin2x+4sin2x的最小值是4;
③y=2-3x-4x(x<0)的最小值是2-43.
【解析】①正确,由于y=2-3x-4x=2-3x+4x≤2-23x·4x=2-43.
当且仅当3x=4x,即x=233时等号成立.
②不正确,令sin2x=t,则0<t≤1,
所以g(t)=t+4t,
明显g(t)在(0,1]上单调递减,
故g(t)min=g(1)=1+4=5.
③不正确,由于x<0,所以-x>0,最小值为2+43,而不是2-43.
答案:①
【误区警示】此题简洁毁灭答案为①②,是由于做题时只看到了形式,而看不到基本不等式成立的条件而造成的.
7.(2021·四川高考)已知函数f(x)=4x+ax(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= .
【解析】由题f(x)=4x+ax(x>0,a>0),依据基本不等式4x+ax≥4a,当且仅当4x=ax时取等号,而由题知当x=3时取得最小值,即a=36.
答案:36
8.已知x,y为正实数,3x+2y=10,3x+2y的最大值为 .
【解析】由a+b2≤a2+b22
得3x+2y≤2(3x)2+(2y)2
=23x+2y=25,
当且仅当x=53,y=52时取等号.
答案:25
【一题多解】此题还可以这样解:
设W=3x+2y>0,
W2=3x+2y+23x·2y=10+23x·2y≤10+(3x)2+(2y)2=10+(3x+2y)=20,
所以W≤20=25,
当且仅当x=53,y=52时等号成立.
答案:25
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知a,b是正数,求证:a+1b2b+12a≥92.
【证明】由于a,b是正数,利用均值不等式,
a+1b2b+12a=2ab+12+2+12ab
=2ab+12ab+52≥2+52=92,
所以a+1b2b+12a≥92.
10. (2021·淄博模拟)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽视不计)?
【解析】方法一:设y为流出的水中杂质的质量分数,
则y=kab,其中k为比例系数,且k>0,
依题意,即所求的a,b值使y最小.
据题意有:4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),
所以b=30-a2+a(0<a<30).
所以ab=a×30-a2+a=30a-a22+a=-a+32-642+a
=34-(a+2+64a+2)≤34-2(a+2)·64a+2=18.
当a+2=64a+2时取等号,y达到最小值.
此时解得a=6,b=3.
答:当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
方法二:设y为流出的水中杂质的质量分数,
则y=kab,其中k为比例系数,且k>0,
依题意,即所求的a,b值使y最小.
据题意有:4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),
即2b+ab+a=30,由于a+2b≥22ab,
所以30-ab=a+2b≥22ab.
所以ab+22ab-30≤0.
由于a>0,b>0,所以0<ab≤18,
当a=2b时取等号,ab达到最大值18.
此时解得a=6,b=3.
答:当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
【加固训练】(1)若a>0,b>0,且ln(a+b)=0,求1a+1b的最小值.
(2)求x(8-3x)(0<x<83)的最大值.
【解析】(1)依题意a+b=1,且a>0,b>0,
所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab
≥2+2ba·ab=4,
当且仅当a=b=12时,等号成立,
故1a+1b的最小值为4.
(2)由于0<x<83,所以x(8-3x)=3x(8-3x)·13≤·13=163.
当且仅当3x=8-3x,即x=43时,等号成立,
故x(8-3x)的最大值是163.
(20分钟 40分)
1.(5分)(2021·合肥模拟)已知a,b为正实数,函数y=2aex+b的图象经过点(0,1),则1a+1b的最小值为( )
A.3+22 B.3-2 C.4 D.2
【解析】选A.由已知得2a+b=1,
又由于a,b为正实数,
所以1a+1b=(2a+b)1a+1b=3+2ab+ba
≥3+22ab·ba=3+22.
当且仅当a=1-22,b=2-1时取等号.
【加固训练】(2021·山东高考)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y-2z的最大值为( )
A.0 B.1 C.94 D.3
【解析】选B.由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2.
所以xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3
≤12xy·4yx-3=1,
当且仅当xy=4yx,即x=2y时取等号,此时z=2y2,xyzmax=1.
2x+1y-2z=22y+1y-2xy=2y1-1x=
2y1-12y≤412y+1-12y22=1.
2.(5分)(2021·池州模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得aman=4a1,则1m+4n的最小值为( )
A.32 B.53 C.94 D.256
【解析】选A.由各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,
可得a1q6=a1q5+2a1q4,
所以q2-q-2=0,
解得q=2或q=-1(舍去).
由于aman=4a1,所以qm+n-2=16,
所以2m+n-2=24,所以m+n=6,
所以1m+4n=16(m+n)1m+4n
=165+nm+4mn
≥16(5+4)=32.
当且仅当nm=4mn时,等号成立,
故1m+4n的最小值等于32.
3.(5分)(2021·福州模拟)正数a,b满足1a+9b=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.[3,+∞) B.(-∞,3]
C.(-∞,6] D.[6,+∞)
【解析】选D.由于a>0,b>0,1a+9b=1,
所以a+b=(a+b)1a+9b
=10+ba+9ab≥10+29=16,
由题意,得16≥-x2+4x+18-m,
即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立,
而x2-4x-2=(x-2)2-6,
所以x2-4x-2的最小值为-6,
所以-6≥-m,
即m≥6.
【加固训练】(2022·闵行模拟)若不等式(x+y) ax+4y≥16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 .
【解析】由于不等式(x+y)ax+4y≥16对任意正实数x,y恒成立,所以16≤(x+y)ax+4ymin.
令f(x)=(x+y)ax+4y(a>0),
则f(x)=a+4+ayx+4xy≥a+4+2ayx·4xy=a+4+4a,
当且仅当xy=a2时取等号,
所以a+4a+4≥16,解得a≥4,
因此正实数a的最小值为4.
答案:4
4.(12分)若a>0,b>0,且1a+1b=ab.
(1)求a3+b3的最小值.
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
【解析】(1)由于a>0,b>0,且1a+1b=ab,
所以ab=1a+1b≥21ab,所以ab≥2,
当且仅当a=b=2时取等号.
由于a3+b3≥2(ab)3≥223=42,
当且仅当a=b=2时取等号,
所以a3+b3的最小值为42.
(2)由(1)可知,2a+3b≥22a·3b
=26ab≥43>6,
故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.
5.(13分)(力气挑战题)为了降低能耗,新建住宅的屋顶和外墙都要求建筑隔热层.某幢建筑物要建筑可使用20年的隔热层,每厘米的隔热层建筑成本为6万元.该建筑物每年的能耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=k3x+5(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建筑费用与20年的能耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式.
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
【解析】(1)当x=0时,C(0)=8,即k5=8,所以k=40,
所以C(x)=403x+5,
所以f(x)=6x+20×403x+5=6x+8003x+5(0≤x≤10).
(2)f(x)=6x+8003x+5=2(3x+5)+8003x+5-10
≥22(3x+5)8003x+5-10=70.
当且仅当2(3x+5)=8003x+5,即x=5时等号成立,因此最小值为70,
所以当隔热层修建5cm厚时总费用最小,最小值为70万元.
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