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限时练(五)
(限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集U＝R，集合A＝，则∁UA等于( )
A.(－∞，0] B.[2，＋∞)
C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)
解析 依题意得A＝{x|0<x<2}，因此∁UA＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，故选D.
答案 D
2.若复数z＝＋i是纯虚数，则tan的值为( )
A.－7 B.－ C.7 D.－7或－
解析 依题意得即cos θ＝，sin θ＝－，tan θ＝－，tan＝＝7，故选C.
答案 C
3.已知数列{an}为等比数列，a5＝1，a9＝81，则a7＝( )
A.9或－9 B.9
C.27或－27 D.－27
解析 依题意得a＝a5a9＝81，又a7＝a5q2＝q2>0，因此a7＝9，故选B.
答案 B
4.直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )
A.－3<m<1 B.－4<m<2
C.m<1 D.0<m<1
解析 依题意，直线x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点的充要条件是圆心到直线的距离小于圆的半径，即<，－3<m<1.由0<m<1可得知－3<m<1；反过来，由－3<m<1不能得知0<m<1.因此，－3<m<1的一个充分不必要条件是0<m<1，即“直线x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件是“0<m<1”，故选D.
答案 D
5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是( )
A.63 B.31 C.27 D.15
解析 依题意，执行程序框图，进行第一次循环时，S＝02＋1＝1<50，i＝3；进行其次次循环时，S＝12＋1＝2<50，i＝7；进行第三次循环时，S＝22＋1＝5<50，i＝15；进行第四次循环时，S＝52＋1＝26<50，i＝31；进行第五次循环时，S＝262＋1>50，i＝63，此时结束循环，输出i的值是63，故选A.
答案 A
6.在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝30°，CD是边AB上的高，则·＝( )
A.－ B. C. D.－
解析 依题意得CD＝ACsin 30°＝，在方向上的投影等于，因此·＝×＝，故选B.
答案 B
7.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )
A.3 B.2 C. D.
解析 依题意，几何体是一个侧放的正三棱柱(上、下底面左右正对)，其中底面边长是2、高是3，因此其体积等于×22×3＝3，故选A.
答案 A
8.半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )
A.π∶6 B.π∶2 C.π∶2 D.5π∶12
解析 依题意，设球的半径为R、正方体的棱长为a，则有R2＝a2＋，即＝.因此该半球的体积与正方体的体积之比等于πR3∶a3＝π∶2，故选B.
答案 B
9.已知x>1，y>1，且ln x，，ln y成等比数列，则xy有( )
A.最小值e B.最小值
C.最大值e D.最大值
解析 依题意得ln x·ln y＝(ln x>0，ln y>0)，ln x＋ln y≥2＝1，即ln(xy)≥1，xy≥e，当且仅当x＝y＝时取等号，因此xy有最小值e，故选A.
答案 A
10.设函数f(x)＝对于任意的实数x1≠x2都有<0成立，则实数a的取值范围为( )
A.a<0 B.a≤0 C.a≤－ D.a<－
解析 依题意，函数f(x)在R上是减函数，于是有解得a≤－，故选C.
答案 C
11.函数f(x)＝若关于x的方程2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五个不同的实数解，则a的取值范围是( )
A.(1，2) B.∪
C. D.
解析 令f(x)＝t，则2t2－(2a＋3)t＋3a＝0，即(2t－3)·(t－a)＝0，t＝或t＝a.依题意，在坐标平面内画出函数y＝f(x)(留意当x≠1时，f(x)的值域为(1，2))的大致图象.若a＝，此时方程f(x)＝有三个不同的实根，关于x的方程2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0仅有三个不同的实数解，因此a≠.结合图象可知，满足题意的实数a的取值范围是∪，故选B.
答案 B
12.定义在上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)<f′(x)tan x成立，则( )
A.f > f B.f >f
C.f(1)<2f sin 1 D.f <f
解析 记g(x)＝，则当x∈时，sin x>0，cos x>0.由f(x)－f′(x)tan x<0知g′(x)＝＝>0，g(x)是增函数.又0<<<，因此有g<g，即2f <f ， f <f ，故选D.
答案 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个，则取出的这两数字之和为偶数的概率为________.
解析 依题意，从1，2，3，4中任取两个数共有6种不同的取法，其中取出的两个数字之和为偶数(即相应的奇偶性相同)的取法共有2种，因此所求的概率等于＝.
答案
14.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且∠A＝60°，若S△ABC＝，且5sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于________.
解析 依题意得bcsin A＝bc＝，即bc＝15，5b＝3c，解得b＝3，c＝5.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝19，a＝，因此△ABC的周长等于a＋b＋c＝8＋.
答案 8＋
15.设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值为________.
解析 依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域Ω1及直线3x－4y－9＝0，结合图形可知，在该平面区域内全部的点中，点(1，1)到直线3x－4y－9＝0的距离最近，该距离等于＝2，因此|AB|的最小值等于2×2＝4.
答案 4
16.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，若△F1AB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝________.
解析 依题意，设|AF1|＝|AB|＝m，则|BF1|＝m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a.又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
因此(m－2a)＋(m－2a)＝m，4a2＝.
在Rt△AF1F2中，4c2＝|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2＝m2.
因此e2＝＝5－2.
答案 5－2
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