资源描述
一、选择题
1．(2022·西安模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin Asin B＋bcos2 A＝a，则＝( )．
A. B．2
C. D．2
解析 由于asin Asin B＋bcos2 A＝a，所以由正弦定理，得sin Asin Asin B＋sin B＝sin A，即sin B＝sin A，所以＝.
答案 A
2．(2022·益阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asin A＋bsin B－csin C＝asin B，则角C等于( )．
A. B．
C. D．
解析 由正弦定理，得a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝＝，
又0＜C＜π，
所以C＝.
答案 A
3．(2022·吉林省试验中学一模)在△ABC中，sin(A＋B)·sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的外形是( )．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析 由于sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2 C，所以sin (A－B)＝sin C，又由于A，B，C为△ABC的内角，所以A－B＝C，所以A＝90°，所以△ABC为直角三角形．
答案 B
4．(2022·福州模拟)在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，则sin C＝( )．
A. B．
C. D．
解析 由于在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，所以S△ABC＝BC×BAsin B＝，即×1×BA×＝，解得BA＝4.又由余弦定理，得AC2＝BC2＋BA2－2BC·BAcos B，即得AC＝，由正弦定理，得＝，解得sin C＝.
答案 D
5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且b2＝a2－ac＋c2，C－A＝90°，则cos Acos C等于( )．
A. B．
C．－ D．－
解析 依题意得a2＋c2－b2＝ac，则cos B＝＝.
又0°＜B＜180°，所以B＝60°，C＋A＝120°.又C－A＝90°，所以C＝90°＋A，A＝15°，所以cos Acos C＝
cos Acos(90°＋A)＝－sin 2A＝－sin 30°＝－.
答案 C
二、填空题
6．(2022·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB等于________．
解析 由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A代入数据得()2＝AB2＋22－2AB·2cos60°，解之得AB＝1.
答案 1
7．(2022·新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.
解析 在△AMC中，
∵∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，
∴∠AMC＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得
＝，
又△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝45°，BC＝100 m，
∴AC＝100 (m)，
∴AM＝ ·sin 60°＝100 (m)，
在△AMN中，MN⊥AN，∠NAM＝60°，
∴MN＝AM·sin 60°＝100×＝150 (m)．
答案 150
8．(2022·江苏卷)若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________．
解析 ∵sin A＋sin B＝2sin C.
由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝，
cos C＝＝
＝≥＝，
当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立．
∴cos C的最小值为.
答案
三、解答题
9．(2022·安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为.求cos A与a的值．
解 由三角形面积公式，得×3×1·sin A＝，
故sin A＝.
由于sin2 A＋cos2 A＝1，
所以cos A＝±＝± ＝±.
①当cos A＝时，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝8，
所以a＝2.
②当cos A＝－时，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×(－)＝12，
所以a＝2.
10．(2022·山东卷)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝，B＝A＋.
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积．
解 (1)在△ABC中，
由题意知sin A＝＝，
又由于B＝A＋，
所以sin B＝sin(A＋)＝cos A＝.
由正弦定理可得
b＝＝＝3.
(2)由B＝A＋得cos B＝cos(A＋)＝－sin A＝－.
由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)．
所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×(－)＋×＝.
因此△ABC的面积S＝absin C＝×3×3×＝.
11．(2022·贵州六校联盟联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos C＝2b－c.
(1)求sin A；
(2)求三角函数式＋1的取值范围．
解 (1)∵2acos C＝2b－c，依据正弦定理，
得2sin A·cos C＝2sin B－sin C，
又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
∴sin C＝cos Asin C，
∵sin C≠0，∴cos A＝，
又∵0＜A＜π，∴A＝，∴sin A＝.
(2)＋1＝1－＝1－2cos2 C＋2sin Ccos C＝sin 2C－cos 2C＝sin，
∵0＜C＜π，
∴－＜2C－＜π，
∴－＜sin≤1，
∴－1＜sin≤，
∴＋1的取值范围是(－1，]．
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