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课时提升作业(五十四)
随机大事的概率
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.把颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人,每人分得1个球.大事“甲分得白球”与大事“乙分得白球”是( )
A.对立大事 B.不行能大事
C.互斥大事 D.必定大事
【解析】选C.由于甲、乙、丙3人都可能持有白球,故大事“甲分得白球”与大事“乙分得白球”不是对立大事.又大事“甲分得白球”与大事“乙分得白球”不行能同时发生,故两大事的关系是互斥大事.
【加固训练】已知α,β,γ是不重合平面,a,b是不重合的直线,下列说法正确的是( )
A.“若a∥b,a⊥α,则b⊥α”是随机大事
B.“若a∥b,a⊂α,则b∥α”是必定大事
C.“若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β”是必定大事
D.“若a⊥α,a∩b=P,则b⊥α”是不行能大事
【解析】选D.⇒b⊥α,故A错;⇒b∥α或b⊂α,故B错;当α⊥γ,β⊥γ时,α与β可能平行,也可能相交(包括垂直),故C错;假如两条直线垂直于同一个平面,则两直线必平行,故D正确.
2.一个人打靶时连续射击两次,大事“至少有一次中靶”的互斥大事是( )
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
【解析】选D.射击两次有四种可能:(中,不中)、(不中,中)、(中,中)、(不中,不中),其中“至少有一次中靶”含有前三种状况,选项A,B,C中都有与其重叠的部分,只有选项D为其互斥大事.
【加固训练】某入伍新兵在打靶练习中,连续射击两次,则大事“至少有1次中靶”的对立大事是( )
A.至多有1次中靶 B.两次都中靶
C.两次都不中靶 D.只有1次中靶
【解析】选C.大事“至少有1次中靶”包括“中靶1次”和“中靶两次”两种状况,由对立大事的定义,可知“两次都不中靶”与之对立.
3.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以为概率的大事是( )
A.都不是一等品 B.恰有1件一等品
C.至少有1件一等品 D.至多有1件一等品
【解析】选D.从5件产品中任取2件有10种取法,设3件一等品为1,2,3,2件二等品为4,5.这10种取法是(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),
(3,4),(3,5),(4,5),其中2件均为一等品的取法有(1,2),(1,3),(2,3),共3种.所以至多有1件一等品的概率.
4.从1,2,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.
在上述大事中,是对立大事的是( )
A.① B.②④ C.③ D.①③
【解析】选C.从9个数字中取两个数有三种取法:一奇一偶,两奇,两偶,故只有③中两大事是对立大事.
5.(2021·厦门模拟)口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球,其中红球45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为( )
A.0.45 B.0.67 C.0.64 D.0.32
【解析】选D.摸出红球的概率为0.45,摸出白球的概率为0.23,故摸出黑球的概率P=1-0.45-0.23=0.32.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.给出下列命题:
①对立大事确定是互斥大事;
②若A,B是两个大事,则P(A+B)=P(A)+P(B);
③若大事A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;
④若大事A,B满足P(A)+P(B)<1,则大事A,B是互斥但不对立大事.
其中全部不正确命题的序号为 .
【解析】对立确定互斥,但互斥未必对立,①正确;仅当A,B互斥时,②成立,故②不正确;由于两两互斥的三个大事A,B,C,其概率和不愿定等于1,也可能小于1,③不正确;对于④,两个大事A,B,满足P(A)+P(B)<1,不能推出A,B互斥,更不能说A,B对立,所以④错误.
答案:②③④
【加固训练】甲:A1,A2是互斥大事;乙:A1,A2是对立大事,那么甲是乙的
条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).
【解析】两个大事是对立大事,则它们确定互斥,反之不愿定成立.
答案:必要不充分
7.(2021·合肥模拟)在数学考试中,小明的成果在90分以上的概率是0.18,在80～89分的概率是0.51,在70～79分的概率是0.15,在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07,小明考试及格(60分及以上)的概率为 .
【解析】小明考试及格的概率是
0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
答案:0.93
【一题多解】本题还可用以下解法:
小明考试不及格的概率是0.07,所以小明考试及格的概率是1-0.07=0.93.
答案:0.93
8.某城市2022年的空气质量状况如表所示:
其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50<T≤100时,空气质量为良;100<T≤150时,空气质量为略微污染,则该城市2021年空气质量达到良或优的概率为 .
【解析】由题意可知2022年空气质量达到良或优的概率为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.
(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率.
(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率.
【解析】记“甲射击一次,命中7环以下”为大事A,则P(A)=1-0.56-0.22-0.12=0.1,
“甲射击一次,命中7环”为大事B,则P(B)=0.12,
由于在一次射击中,A与B不行能同时发生,
故A与B是互斥大事,
(1)“甲射击一次,命中不足8环”的大事为A+B,
由互斥大事的概率加法公式,
P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.12=0.22.
答:甲射击一次,命中不足8环的概率是0.22.
(2)记“甲射击一次,命中8环”为大事C,
“甲射击一次,命中9环(含9环)以上”为大事D,
则“甲射击一次,至少命中7环”的大事为B+C+D,
所以P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.12+0.22+0.56=0.9.
答:甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.
【加固训练】袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,取到红球的概率为13,取到黑球或黄球的概率是512,取到黄球或绿球的概率也是512,试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.
【解析】从袋中任取一球,记大事“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”“取到绿球”分别为A,B,C,D,则有P(A)=13,
P(B∪C)=P(B)+P(C)=512,
P(C∪D)=P(C)+P(D)=512,
P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-13=23,
解得P(B)=14,P(C)=16,P(D)=14.
故取到黑球、黄球、绿球的概率分别是14,16,14.
10.某公司生产产品A,产品质量按测试指标分为大于或等于90为一等品,大于或等于80小于90为二等品,小于80为三等品,生产一件一等品可盈利50元,生产一件二等品可盈利30元,生产一件三等品亏损10元.现随机抽查娴熟工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测,检测结果统计如下表:
测试
指标
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100)
甲
3
7
20
40
20
10
乙
5
15
35
35
7
3
依据上表统计结果得到甲、乙两人生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率,用频率去估量他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的概率.
(1)计算甲生产一件产品A给工厂带来盈利不小于30元的概率.
(2)若甲一天能生产20件产品A,乙一天能生产15件产品A,估量甲、乙两人一天生产的35件产品A中三等品的件数.
【解析】(1)甲生产一件产品A给工厂带来盈利不小于30元的概率P=1-110=910.
(2)估量甲一天生产的20件产品A中有20×110=2件三等品,
估量乙一天生产的15件产品A中有15×15+5100=3件三等品,
所以估量甲、乙两人一天生产的35件产品A中共有5件三等品.
(20分钟 40分)
1.(5分)(2021·广州模拟)某射手在一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别是0.2,0.3,0.1,则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A.0.4 B.0.3 C.0.6 D.0.9
【解析】选A.一次射击不够8环的概率为1-0.2-0.3-0.1=0.4.
2.(5分)(2021·成都模拟)某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品.若生产中毁灭乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为 .
【解析】记“生产中毁灭甲级品、乙级品、丙级品”分别为大事A,B,C,则A,B,C彼此互斥,由题意可得P(B)=0.03,P(C)=0.01,所以P(A)=1-P(B+C)= 1-P(B)-
P(C)=1-0.03-0.01=0.96.
答案:0.96
3.(5分)若随机大事A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且分别为P(A)=2-a,P(B)=3a-4,则实数a的取值范围为 .
【解题提示】由随机大事A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且分别为P(A)=2-a,P(B)=3a-4,知由此能求出实数a的取值范围.
【解析】由于随机大事A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且分别为P(A)=2-a,P(B)=3a-4,
答案:
【方法技巧】互斥大事的概率的应用
1.互斥大事的概率加法公式
(1)求一个大事的概率问题:将一个大事分拆为若干个互斥大事,分别求出各大事的概率,然后用加法公式求出结果.
(2)运用互斥大事的概率加法公式解题时,首先要分清大事间是否互斥,同时要学会把一个大事分拆为几个互斥大事,且做到无重无漏.
2.对立大事的概率公式
(1)大事A,B互斥,A,B中必有一个发生,其中一个易求、另一个不易求时常用P(A)+P(B)=1解题.
(2)常适用于直接计算符合条件的大事个数较多时,可间接地先计算对立大事的概率,再由公式求出符合条件的大事的概率.
(3)应用此公式时,确定要分清大事的对立大事到底是什么大事,不能重复或遗漏.该公式常用于“至多”“至少”型问题的探究.
4.(12分)一盒中共装有除颜色外其余均相同的小球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1个球,求:
(1)取出1球是红球或黑球的概率.
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.
【解析】记大事A1={任取1球为红球},A2={任取1球为黑球},A3={任取1球为白球},A4={任取1球为绿球},则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=.据题意知大事A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥大事的概率公式,得
(1)取出1球是红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=.
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=.
【一题多解】本题的其次问还可以用如下的方法解决:P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=
5.(13分)(力气挑战题)黄种人人群中各种血型的人所占的比例见下表:
已知同种血型的人可以相互输血,O型血的人可以给任一种血型的人输血,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能相互输血.小明是B型血,若他因病需要输血,问
(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?
(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?
【解析】(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O型血分别记为大事A′,B′,C′,D′,它们是互斥的.由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)
=0.35.
由于B,O型血可以输给B型血的人,故“任找一个人,其血可以输给小明”为大事B′∪D′,依据概率加法公式,得P(B′∪D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=
0.64.
(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“任找一个人,其血不能输给小明”为大事A′∪C′,且P(A′∪C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.
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