高中数学(北师大版)必修五教案：1.1-如何由递推公式求通项公式.docx

如何由递推公式求通项公式
高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维力气的题型，要求考生进行严格的规律推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化生疏为生疏的目的。
下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。
类型一： 或
分析：利用迭加或迭乘方法。即：
或
例1.(1) 已知数列满足，求数列的通项公式。
（2）已知数列满足，求数列的通项公式。
解：（1）由题知：

（2）

两式相减得：
即：

类型二：
分析：把原递推公式转为：，再利用换元法转化为等比数列求解。
例2.已知数列中，，求的通项公式。
解：由 可转化为：

令

即
类型三：
分析：在此只争辩两种较为简洁的状况，即是多项式或指数幂的形式。
（1）是多项式时转为，再利用换元法转为等比数列
（2）是指数幂：
若时则转化为，再利用换元法转化为等差数列
若时则转化为
例3.（1）设数列中，，求的通项公式。
（2）设数列中，，求的通项公式。
解：（1）设

与原式比较系数得：
即
令

(2)设
开放后得：
对比得：

令

类型四：
分析：这种类型一般是等式两边取对数后得：，再接受类型二进行求解。
例4.设数列中，，求的通项公式。
解：由，两边取对数得:

设开放后与上式对比得：

令，则

，即
也即
类型五：
分析：这种类型一般是等式两边取倒数后再换元可转化为类型二。
例5.已知数列满足：，求的通项公式。
解：原式两边取倒数得：

即